Giải Bài 1.26 trang 41 SGK Toán 12

Lời giải

a) Hàm vận tốc và gia tốc

Toạ độ của hạt: $y(t) = t^3 - 12t + 3$, $t \geq 0$.

Vận tốc là đạo hàm của toạ độ theo thời gian:
$$v(t) = y'(t) = 3t^2 - 12 \ (\text{m/s}).$$

Gia tốc là đạo hàm của vận tốc theo thời gian:
$$a(t) = v'(t) = 6t \ (\text{m/s}^2).$$

b) Hạt chuyển động lên trên, xuống dưới

Vì chiều dương hướng lên trên nên:
- Hạt chuyển động lên trên khi $v(t) > 0$;
- Hạt chuyển động xuống dưới khi $v(t) < 0$.

Xét $v(t) = 3t^2 - 12 = 3(t^2 - 4) = 3(t-2)(t+2)$.

Với $t \geq 0$ thì $t + 2 > 0$, nên dấu của $v(t)$ cùng dấu với $t - 2$:
- $v(t) > 0 \Leftrightarrow t > 2$: hạt chuyển động lên trên khi $t > 2$ (giây).
- $v(t) < 0 \Leftrightarrow 0 \leq t < 2$: hạt chuyển động xuống dưới khi $0 \leq t < 2$ (giây).

(Tại $t = 2$, $v = 0$: hạt đổi chiều chuyển động.)

c) Quãng đường đi được trong $0 \leq t \leq 3$

Trên $[0;3]$, vận tốc đổi dấu tại $t = 2$, nên ta chia làm hai giai đoạn.

Tính toạ độ tại các mốc:
$$y(0) = 3; \quad y(2) = 2^3 - 12\cdot 2 + 3 = 8 - 24 + 3 = -13; \quad y(3) = 3^3 - 12\cdot 3 + 3 = 27 - 36 + 3 = -6.$$

- Giai đoạn $0 \leq t \leq 2$ (hạt đi xuống): quãng đường $= |y(2) - y(0)| = |-13 - 3| = 16$ (m).
- Giai đoạn $2 \leq t \leq 3$ (hạt đi lên): quãng đường $= |y(3) - y(2)| = |-6 - (-13)| = 7$ (m).

Tổng quãng đường hạt đi được:
$$s = 16 + 7 = 23 \ (\text{m}).$$

d) Khi nào hạt tăng tốc, giảm tốc

Tốc độ (độ lớn vận tốc) của hạt tăng khi vận tốc và gia tốc cùng dấu, và giảm khi vận tốc và gia tốc trái dấu.

Với $t > 0$ ta luôn có $a(t) = 6t > 0$. Do đó:
- Hạt tăng tốc khi $v(t) > 0$, tức là $t > 2$ (giây).
- Hạt giảm tốc khi $v(t) < 0$, tức là $0 < t < 2$ (giây).

Đáp số