Giải Bài 1.25 trang 33 SGK Toán 12

Lời giải

Thiết lập hàm số. Khi mắc song song điện trở $8\ \Omega$ với biến trở $x\ (\Omega)$, điện trở tương đương là
$$y=R(x)=\dfrac{8x}{x+8},\qquad x>0.$$

Khảo sát và vẽ đồ thị.

*Tập xác định (theo yêu cầu):* $x>0$.

*Viết lại hàm số* để dễ khảo sát:
$$R(x)=\dfrac{8x}{x+8}=\dfrac{8(x+8)-64}{x+8}=8-\dfrac{64}{x+8}.$$

*Đạo hàm:*
$$R'(x)=\dfrac{8(x+8)-8x}{(x+8)^2}=\dfrac{64}{(x+8)^2}>0\quad\text{với mọi } x>0.$$
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng $(0;+\infty)$.

*Giới hạn:*
$$\lim_{x\to 0^+}R(x)=0,\qquad \lim_{x\to+\infty}R(x)=\lim_{x\to+\infty}\left(8-\dfrac{64}{x+8}\right)=8.$$
Do đó đường thẳng $y=8$ là tiệm cận ngang của đồ thị.

*Bảng biến thiên:*

| $x$ | $0$ | | $+\infty$ |
|---|---|---|---|
| $R'(x)$ | | $+$ | |
| $R(x)$ | $0$ | $\nearrow$ | $8$ |

*Một vài điểm để vẽ:* $R(8)=\dfrac{64}{16}=4$; $\;R(24)=\dfrac{192}{32}=6$; $\;R(72)=\dfrac{576}{80}=7,2$.

*Đồ thị:* là một nhánh của đường cong (nhánh của một hypebol), đi lên từ gần gốc $O$, đi qua các điểm $(8;4),(24;6),\dots$, luôn nằm dưới đường tiệm cận ngang $y=8$ và tiến sát dần đường này khi $x$ lớn dần.

```
y
8 ┤· · · · · · · · · · · · · (tiệm cận y = 8)
│ ______------
6 ┤ __--" (24;6)
│ _-"
4 ┤ _/ (8;4)
│ _/
2 ┤ /
│/
0 ┼───────────────────────── x
0 8 16 24 ...
```

a) Khi $x$ tăng thì điện trở tương đương thay đổi thế nào?

Vì $R'(x)>0$ với mọi $x>0$ nên $R(x)$ đồng biến: khi $x$ tăng thì điện trở tương đương $R$ cũng tăng. Tuy nhiên $R$ tăng chậm dần và luôn nhỏ hơn $8$; khi $x$ càng lớn thì $R$ càng tiến gần tới giá trị $8\ \Omega$ (nhìn trên đồ thị: đường cong đi lên và áp sát dần đường $y=8$).

b) Vì sao điện trở tương đương không bao giờ vượt quá $8\ \Omega$?

Ta có
$$R(x)=8-\dfrac{64}{x+8}.$$
Với mọi $x>0$ thì $x+8>0$ nên $\dfrac{64}{x+8}>0$, suy ra
$$R(x)=8-\dfrac{64}{x+8}<8.$$
Vậy $R(x)<8$ với mọi $x>0$, tức là điện trở tương đương của mạch luôn nhỏ hơn $8\ \Omega$, không bao giờ vượt quá $8\ \Omega$ (đường $y=8$ là tiệm cận ngang mà đồ thị không đạt tới). Điều này phù hợp thực tế: điện trở tương đương của mạch mắc song song luôn nhỏ hơn mỗi điện trở thành phần.

Đáp số