Giải Bài 1.24 trang 33 SGK Toán 12

Lời giải

## a) Tính nồng độ $C(x)$

Ban đầu cốc chứa $30$ ml dung dịch nồng độ $100$ mg/ml, nên khối lượng KOH ban đầu là:
$$30 \cdot 100 = 3000 \text{ (mg)}.$$

Khi thêm $x$ ml dung dịch nồng độ $8$ mg/ml thì khối lượng KOH thêm vào là $8x$ (mg), và thể tích tăng thêm $x$ ml.

Sau khi trộn:
- Tổng khối lượng KOH: $3000 + 8x$ (mg).
- Tổng thể tích dung dịch: $30 + x$ (ml).

Vậy nồng độ KOH trong cốc là:
$$C(x) = \dfrac{8x + 3000}{x + 30} \quad (\text{mg/ml}).$$

## b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị

Xét hàm số $C(x) = \dfrac{8x + 3000}{x + 30}$ với $x \ge 0$.

1. Tập xác định (theo yêu cầu): $D = [0; +\infty)$.

2. Sự biến thiên:

Đạo hàm:
$$C'(x) = \dfrac{8(x+30) - (8x+3000)}{(x+30)^2} = \dfrac{8x + 240 - 8x - 3000}{(x+30)^2} = \dfrac{-2760}{(x+30)^2}.$$

Vì $(x+30)^2 > 0$ với mọi $x \ge 0$ nên $C'(x) < 0$ với mọi $x \ge 0$. Do đó hàm số nghịch biến trên $[0; +\infty)$.

Giới hạn và tiệm cận:
$$\lim_{x \to +\infty} C(x) = \lim_{x \to +\infty} \dfrac{8x + 3000}{x + 30} = 8,$$
nên đường thẳng $y = 8$ là tiệm cận ngang của đồ thị (khi $x \to +\infty$).

Tại $x = 0$: $C(0) = \dfrac{3000}{30} = 100$.

Bảng biến thiên:

| $x$ | $0$ | | $+\infty$ |
|:---:|:---:|:---:|:---:|
| $C'(x)$ | | $-$ | |
| $C(x)$ | $100$ | $\searrow$ | $8$ |

3. Đồ thị:

Đồ thị là một nhánh đường cong (hypebol) đi qua điểm $(0; 100)$, đi xuống liên tục và tiến dần đến đường tiệm cận ngang $y = 8$ nhưng luôn nằm phía trên đường này.

- Điểm đầu: $(0; 100)$.
- Vài điểm để vẽ: $C(30) = \dfrac{240+3000}{60} = 54$; $C(90) = \dfrac{720+3000}{120} = 31$; $C(270) = \dfrac{2160+3000}{300} = 17,2$.
- Tiệm cận ngang: $y = 8$.

```
C(mg/ml)
100 •
\
54 •\_
31 •\__
17,2 •\____
8 - - - - - - - - - - - - y = 8 (tiệm cận ngang)
└─────────────────────────► x (ml)
0 30 90 270
```

## c) Giải thích

Ta viết lại:
$$C(x) = \dfrac{8x + 3000}{x + 30} = \dfrac{8(x+30) + 2760}{x+30} = 8 + \dfrac{2760}{x + 30}.$$

Nồng độ giảm theo $x$: Khi $x$ tăng thì $x + 30$ tăng, nên $\dfrac{2760}{x+30}$ giảm, do đó $C(x) = 8 + \dfrac{2760}{x+30}$ giảm. (Điều này phù hợp với $C'(x) < 0$ đã tính ở câu b.) Về mặt thực tế: ta đang thêm dung dịch loãng hơn ($8$ mg/ml) vào dung dịch đặc ($100$ mg/ml) nên nồng độ chung giảm dần.

Nồng độ luôn lớn hơn $8$ mg/ml: Với mọi $x \ge 0$ ta có $\dfrac{2760}{x+30} > 0$, suy ra:
$$C(x) = 8 + \dfrac{2760}{x+30} > 8.$$

Vậy nồng độ KOH trong cốc luôn lớn hơn $8$ mg/ml. Đây chính là nồng độ của dung dịch thêm vào: dù thêm bao nhiêu dung dịch $8$ mg/ml, phần KOH "đậm đặc" ban đầu vẫn khiến nồng độ hỗn hợp cao hơn $8$ mg/ml, và chỉ tiến gần tới $8$ mg/ml khi $x$ rất lớn (đpcm).

Đáp số