Giải Bài 1.22 trang 33 SGK Toán 12

Lời giải

## a) $y = \dfrac{2x+1}{x+1}$

1. Tập xác định: $D = \mathbb{R} \setminus \{-1\}$.

2. Sự biến thiên:

Đạo hàm:
$$y' = \dfrac{2(x+1) - (2x+1)\cdot 1}{(x+1)^2} = \dfrac{2x+2-2x-1}{(x+1)^2} = \dfrac{1}{(x+1)^2} > 0 \;\; \forall x \neq -1.$$

Vậy hàm số đồng biến trên mỗi khoảng $(-\infty; -1)$ và $(-1; +\infty)$. Hàm số không có cực trị.

*Tiệm cận:*
$$\lim_{x\to -\infty} y = 2,\quad \lim_{x\to +\infty} y = 2 \;\Rightarrow\; y = 2 \text{ là tiệm cận ngang.}$$
$$\lim_{x\to (-1)^-} y = +\infty,\quad \lim_{x\to (-1)^+} y = -\infty \;\Rightarrow\; x = -1 \text{ là tiệm cận đứng.}$$

*Bảng biến thiên:*

| $x$ | $-\infty$ | | $-1$ | | $+\infty$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $y'$ | | $+$ | $\parallel$ | $+$ | |
| $y$ | $2$ | $\nearrow$ | $+\infty \;\parallel\; -\infty$ | $\nearrow$ | $2$ |

3. Đồ thị:

- Giao với trục $Oy$: cho $x=0 \Rightarrow y = 1$, điểm $(0;1)$.
- Giao với trục $Ox$: cho $y=0 \Rightarrow 2x+1=0 \Rightarrow x=-\dfrac{1}{2}$, điểm $\left(-\dfrac{1}{2};0\right)$.

Đồ thị là một đường hypebol nhận giao điểm hai tiệm cận $I(-1;2)$ làm tâm đối xứng; nằm trong các góc tạo bởi hai tiệm cận $x=-1$ và $y=2$, đi qua $(0;1)$ và $\left(-\dfrac{1}{2};0\right)$.

---

## b) $y = \dfrac{x+3}{1-x}$

1. Tập xác định: $D = \mathbb{R} \setminus \{1\}$.

2. Sự biến thiên:

Đạo hàm:
$$y' = \dfrac{1\cdot(1-x) - (x+3)(-1)}{(1-x)^2} = \dfrac{1-x + x + 3}{(1-x)^2} = \dfrac{4}{(1-x)^2} > 0 \;\; \forall x \neq 1.$$

Vậy hàm số đồng biến trên mỗi khoảng $(-\infty; 1)$ và $(1; +\infty)$. Hàm số không có cực trị.

*Tiệm cận:*
$$\lim_{x\to \pm\infty} \dfrac{x+3}{1-x} = -1 \;\Rightarrow\; y = -1 \text{ là tiệm cận ngang.}$$
$$\lim_{x\to 1^-} y = +\infty,\quad \lim_{x\to 1^+} y = -\infty \;\Rightarrow\; x = 1 \text{ là tiệm cận đứng.}$$

*Bảng biến thiên:*

| $x$ | $-\infty$ | | $1$ | | $+\infty$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $y'$ | | $+$ | $\parallel$ | $+$ | |
| $y$ | $-1$ | $\nearrow$ | $+\infty \;\parallel\; -\infty$ | $\nearrow$ | $-1$ |

3. Đồ thị:

- Giao với trục $Oy$: cho $x=0 \Rightarrow y = 3$, điểm $(0;3)$.
- Giao với trục $Ox$: cho $y=0 \Rightarrow x+3=0 \Rightarrow x=-3$, điểm $(-3;0)$.

Đồ thị là một đường hypebol nhận giao điểm hai tiệm cận $I(1;-1)$ làm tâm đối xứng; nằm trong các góc tạo bởi hai tiệm cận $x=1$ và $y=-1$, đi qua $(-3;0)$ và $(0;3)$.

Đáp số