Giải Bài 1.21 trang 33 SGK Toán 12

Lời giải

## a) $y = -x^3 + 3x + 1$

1. Tập xác định: $D = \mathbb{R}$.

2. Sự biến thiên:

Ta có $y' = -3x^2 + 3 = -3(x^2 - 1)$.

$y' = 0 \Leftrightarrow x = -1$ hoặc $x = 1$.

- Trên khoảng $(-1; 1)$: $y' > 0$ nên hàm số đồng biến.
- Trên các khoảng $(-\infty; -1)$ và $(1; +\infty)$: $y' < 0$ nên hàm số nghịch biến.

Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu tại $x = -1$, $y_{CT} = y(-1) = -(-1)^3 + 3(-1) + 1 = -1$; đạt cực đại tại $x = 1$, $y_{CĐ} = y(1) = -1 + 3 + 1 = 3$.

Giới hạn: $\lim\limits_{x \to -\infty} y = +\infty$; $\lim\limits_{x \to +\infty} y = -\infty$.

Bảng biến thiên:

| $x$ | $-\infty$ | | $-1$ | | $1$ | | $+\infty$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $y'$ | | $-$ | $0$ | $+$ | $0$ | $-$ | |
| $y$ | $+\infty$ | $\searrow$ | $-1$ | $\nearrow$ | $3$ | $\searrow$ | $-\infty$ |

3. Đồ thị:

- $y'' = -6x$; $y'' = 0 \Leftrightarrow x = 0$, $y(0) = 1$. Vậy đồ thị có điểm uốn $I(0; 1)$ và nhận $I$ làm tâm đối xứng.
- Giao với trục $Oy$: $(0; 1)$.
- Một số điểm: $(-2; 3)$, $(-1; -1)$, $(0; 1)$, $(1; 3)$, $(2; -1)$.

Đồ thị là đường cong bậc ba đi lên rồi xuống, có dạng "chữ N ngược", đi xuống ở hai nhánh vô cực (nhánh trái đi lên $+\infty$, nhánh phải đi xuống $-\infty$), nhận $I(0; 1)$ làm tâm đối xứng.

---

## b) $y = x^3 + 3x^2 - x - 1$

1. Tập xác định: $D = \mathbb{R}$.

2. Sự biến thiên:

Ta có $y' = 3x^2 + 6x - 1$.

$y' = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{-3 \pm 2\sqrt{3}}{3} = -1 \pm \dfrac{2\sqrt{3}}{3}$.

Đặt $x_1 = -1 - \dfrac{2\sqrt{3}}{3} \approx -2{,}15$ và $x_2 = -1 + \dfrac{2\sqrt{3}}{3} \approx 0{,}15$.

- Trên các khoảng $(-\infty; x_1)$ và $(x_2; +\infty)$: $y' > 0$ nên hàm số đồng biến.
- Trên khoảng $(x_1; x_2)$: $y' < 0$ nên hàm số nghịch biến.

Cực trị: Thực hiện phép chia $y$ cho $y'$ ta được $y = \left(\dfrac{x}{3} + \dfrac{1}{3}\right)y' - \dfrac{8}{3}x - \dfrac{2}{3}$. Tại các điểm cực trị $y' = 0$ nên $y = -\dfrac{8}{3}x - \dfrac{2}{3}$.

- Cực đại tại $x_1$: $y_{CĐ} = 2 + \dfrac{16\sqrt{3}}{9} \approx 5{,}08$.
- Cực tiểu tại $x_2$: $y_{CT} = 2 - \dfrac{16\sqrt{3}}{9} \approx -1{,}08$.

Giới hạn: $\lim\limits_{x \to -\infty} y = -\infty$; $\lim\limits_{x \to +\infty} y = +\infty$.

Bảng biến thiên:

| $x$ | $-\infty$ | | $x_1 \approx -2{,}15$ | | $x_2 \approx 0{,}15$ | | $+\infty$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $y'$ | | $+$ | $0$ | $-$ | $0$ | $+$ | |
| $y$ | $-\infty$ | $\nearrow$ | $5{,}08$ | $\searrow$ | $-1{,}08$ | $\nearrow$ | $+\infty$ |

3. Đồ thị:

- $y'' = 6x + 6$; $y'' = 0 \Leftrightarrow x = -1$, $y(-1) = -1 + 3 + 1 - 1 = 2$. Vậy đồ thị có điểm uốn $I(-1; 2)$ và nhận $I$ làm tâm đối xứng.
- Giao với trục $Oy$: $(0; -1)$.
- Một số điểm: $(-3; -7)$, $(-1; 2)$, $(0; -1)$, $(1; 2)$.

Đồ thị là đường cong bậc ba đi lên (chữ N), có nhánh trái đi xuống $-\infty$, nhánh phải đi lên $+\infty$, nhận điểm uốn $I(-1; 2)$ làm tâm đối xứng.

Đáp số