Giải Luyện tập 3 trang 33 SGK Toán 12

Lời giải

## Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số $y = \dfrac{-x^2 + 3x - 1}{x - 2}$

Viết lại hàm số: Thực hiện phép chia đa thức:
$$y = \frac{-x^2+3x-1}{x-2} = -x + 1 + \frac{1}{x-2}.$$
*(Kiểm tra: $(x-2)(-x+1)+1 = -x^2+3x-1$, đúng.)*

### a) Tập xác định
Hàm số xác định khi $x - 2 \neq 0$, tức là $x \neq 2$.
$$D = \mathbb{R}\setminus\{2\}.$$

### b) Sự biến thiên
Đạo hàm:
$$y' = \frac{(-2x+3)(x-2)-(-x^2+3x-1)}{(x-2)^2} = \frac{-x^2+4x-5}{(x-2)^2} = \frac{-\big[(x-2)^2+1\big]}{(x-2)^2}.$$
Vì tử số $-\big[(x-2)^2+1\big] < 0$ và mẫu số $(x-2)^2 > 0$ với mọi $x \neq 2$, nên $y' < 0$ với mọi $x \in D$.

Do đó hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng $(-\infty; 2)$ và $(2; +\infty)$. Hàm số không có cực trị.

Giới hạn và tiệm cận:
- $\displaystyle\lim_{x\to 2^-} y = -\infty,\quad \lim_{x\to 2^+} y = +\infty$ (vì $\dfrac{1}{x-2}\to\mp\infty$).
$\Rightarrow$ Đường thẳng $x = 2$ là tiệm cận đứng.
- $\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}\big[y-(-x+1)\big] = \lim_{x\to\pm\infty}\frac{1}{x-2} = 0$.
$\Rightarrow$ Đường thẳng $y = -x + 1$ là tiệm cận xiên.
- $\displaystyle\lim_{x\to-\infty} y = +\infty,\quad \lim_{x\to+\infty} y = -\infty.$

Bảng biến thiên:

| $x$ | $-\infty$ | | $2$ | | $+\infty$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $y'$ | | $-$ | $\parallel$ | $-$ | |
| $y$ | $+\infty$ | $\searrow$ | $-\infty \;\parallel\; +\infty$ | $\searrow$ | $-\infty$ |

### c) Đồ thị
- Giao với trục $Oy$: cho $x = 0 \Rightarrow y = \dfrac{-1}{-2} = 0{,}5$, điểm $(0;\,0{,}5)$.
- Giao với trục $Ox$: cho $y = 0 \Rightarrow -x^2+3x-1 = 0 \Rightarrow x = \dfrac{3\pm\sqrt5}{2}$, tức $x \approx 0{,}38$ và $x \approx 2{,}62$.
- Tâm đối xứng: giao điểm hai tiệm cận $I(2;\,-1)$ (thay $x=2$ vào $y=-x+1$ được $y=-1$).
- Một số điểm phụ: $(-1;\ \tfrac{5}{3})$, $(1;\,-1)$, $(3;\,-1)$, $(4;\,-2{,}5)$.

Đồ thị gồm hai nhánh nằm ở hai phía của tiệm cận đứng $x=2$, nhận $I(2;-1)$ làm tâm đối xứng, có tiệm cận đứng $x=2$ và tiệm cận xiên $y=-x+1$; cả hai nhánh đều đi xuống (do hàm nghịch biến).

Đáp số