Giải Luyện tập 3 trang 57 SGK Toán 12

Lời giải

Cách 1 — Đưa về dạng chính tắc bằng cách thêm bớt để tạo bình phương một tổng.

Ta nhóm các số hạng theo từng biến rồi thêm bớt để tạo thành các bình phương:

$$x^2 - 4x = (x-2)^2 - 4$$
$$y^2 + 6y = (y+3)^2 - 9$$

Thay vào phương trình đã cho:

$$(x-2)^2 - 4 + (y+3)^2 - 9 + z^2 - 12 = 0$$

$$(x-2)^2 + (y+3)^2 + z^2 = 25$$

Đây chính là phương trình mặt cầu dạng $(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = R^2$ với $R^2 = 25 > 0$.

Vậy $(S)$ là một mặt cầu có tâm $I(2\,;\,-3\,;\,0)$ và bán kính $R = \sqrt{25} = 5$.

Cách 2 — Dùng nhận xét trong SGK.

Phương trình có dạng $x^2 + y^2 + z^2 - 2ax - 2by - 2cz + d = 0$ với:

$$-2a = -4 \Rightarrow a = 2,\quad -2b = 6 \Rightarrow b = -3,\quad -2c = 0 \Rightarrow c = 0,\quad d = -12.$$

Xét biểu thức:

$$a^2 + b^2 + c^2 - d = 2^2 + (-3)^2 + 0^2 - (-12) = 4 + 9 + 0 + 12 = 25 > 0.$$

Vì $a^2 + b^2 + c^2 - d > 0$ nên $(S)$ là một mặt cầu có tâm $I(2\,;\,-3\,;\,0)$ và bán kính:

$$R = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2 - d} = \sqrt{25} = 5.$$

Kiểm tra lại: Khai triển $(x-2)^2 + (y+3)^2 + z^2 = 25$ cho $x^2 - 4x + 4 + y^2 + 6y + 9 + z^2 - 25 = 0$, tức $x^2 + y^2 + z^2 - 4x + 6y - 12 = 0$, đúng bằng phương trình đề bài. Vậy kết quả chính xác.

Đáp số