Giải Bài 5.23 trang 54 SGK Toán 12

Lời giải

Thiết lập hệ tọa độ

Vì $S.ABCD$ là hình chóp tứ giác đều nên chân đường cao $O$ của hình chóp trùng với tâm hình vuông $ABCD$, và $SO \perp (ABCD)$.

Hình vuông cạnh $230$ m nên nửa đường chéo:
$$OB = \frac{230\sqrt{2}}{2} = 115\sqrt{2}\ (\text{m}).$$

Chiều cao hình chóp (dùng tam giác vuông $SOB$, $SB = 219$ m):
$$SO = \sqrt{SB^2 - OB^2} = \sqrt{219^2 - (115\sqrt{2})^2} = \sqrt{47961 - 26450} = \sqrt{21511}\ (\text{m}).$$

Đặt $h = SO = \sqrt{21511}$. Chọn hệ trục $Oxyz$ với $O$ là tâm đáy, hai trục $Ox,\,Oy$ song song với các cạnh đáy, $Oz$ hướng theo $SO$. Khi đó:
$$A(-115;-115;0),\quad B(115;-115;0),\quad C(115;115;0),\quad S(0;0;h).$$

Vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng

Mặt phẳng $(SAB)$ chứa hai vectơ:
$$\vec{AB}=(230;0;0),\qquad \vec{AS}=(115;115;h).$$
Một vectơ pháp tuyến:
$$\vec{n_1}=\vec{AB}\times\vec{AS}=(0;-230h;26450)\ \parallel\ (0;-h;115).$$

Mặt phẳng $(SBC)$ chứa hai vectơ:
$$\vec{BC}=(0;230;0),\qquad \vec{BS}=(-115;115;h).$$
Một vectơ pháp tuyến:
$$\vec{n_2}=\vec{BC}\times\vec{BS}=(230h;0;26450)\ \parallel\ (h;0;115).$$

Tính góc giữa hai mặt phẳng

Gọi $\varphi$ là góc giữa $(SAB)$ và $(SBC)$. Ta có:
$$\cos\varphi=\frac{|\vec{n_1}\cdot\vec{n_2}|}{|\vec{n_1}|\,|\vec{n_2}|}=\frac{|0+0+115^2|}{\sqrt{h^2+115^2}\cdot\sqrt{h^2+115^2}}=\frac{115^2}{h^2+115^2}.$$

Thay $h^2=21511$ và $115^2=13225$:
$$\cos\varphi=\frac{13225}{21511+13225}=\frac{13225}{34736}\approx 0{,}3807.$$

Do đó:
$$\varphi\approx 67{,}6^\circ\ (\approx 67^\circ 38').$$

Kết luận: Góc giữa hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SBC)$ xấp xỉ $67{,}6^\circ$.

*(Kiểm tra: góc nhị diện trong giữa hai mặt bên dọc cạnh $SB$ có $\cos = -0{,}3807$, tức $\approx 112{,}4^\circ$; góc giữa hai mặt phẳng lấy giá trị không tù nên bằng $180^\circ-112{,}4^\circ\approx 67{,}6^\circ$ — phù hợp.)*

Đáp số