Giải Luyện tập 2 trang 52 SGK Toán 12

Lời giải

Xác định các vectơ đặc trưng

Đường thẳng $\Delta$ có vectơ chỉ phương $\vec{u} = (-1; 2; 1)$.

Mặt phẳng $(P): x - y + z - 1 = 0$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (1; -1; 1)$.

Áp dụng công thức tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Gọi $\varphi$ là góc giữa $\Delta$ và $(P)$. Ta có:
$$\sin\varphi = \frac{|\vec{u}\cdot\vec{n}|}{|\vec{u}|\,|\vec{n}|}.$$

Tính tích vô hướng:
$$\vec{u}\cdot\vec{n} = (-1)\cdot 1 + 2\cdot(-1) + 1\cdot 1 = -1 - 2 + 1 = -2.$$

Tính độ dài hai vectơ:
$$|\vec{u}| = \sqrt{(-1)^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{6}, \qquad |\vec{n}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{3}.$$

Do đó:
$$\sin\varphi = \frac{|-2|}{\sqrt{6}\cdot\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{18}} = \frac{2}{3\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{3} \approx 0{,}4714.$$

Suy ra số đo góc

$$\varphi = \arcsin\frac{\sqrt{2}}{3} \approx 28^\circ 8'.$$

Kiểm tra: $\sin\varphi = \dfrac{\sqrt{2}}{3}$ nằm trong khoảng $(0;1)$ nên $\varphi$ là góc nhọn, phù hợp với góc giữa đường thẳng và mặt phẳng ($0^\circ \le \varphi \le 90^\circ$). Đáp số hợp lệ.

Đáp số