Giải Bài 5.17 trang 50 SGK Toán 12

Lời giải

Chuẩn bị. Đường thẳng $\Delta_1$ đi qua điểm $A(1;0;-1)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u_1}=(2;-1;3)$.

Đường thẳng $\Delta_2$ đi qua điểm $B(3;-1;0)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u_2}=(-1;1;1)$.

a) Hai con đường có vuông góc với nhau hay không?

Hai con đường vuông góc với nhau khi và chỉ khi $\Delta_1\perp\Delta_2$, tức là $\vec{u_1}\cdot\vec{u_2}=0$.

Ta có:
$$\vec{u_1}\cdot\vec{u_2}=2\cdot(-1)+(-1)\cdot 1+3\cdot 1=-2-1+3=0.$$

Vì $\vec{u_1}\cdot\vec{u_2}=0$ nên $\Delta_1\perp\Delta_2$. Vậy hai con đường vuông góc với nhau.

b) Nút giao thông có phải là nút giao thông khác mức hay không?

Nút giao thông là *khác mức* khi hai con đường (hai đường thẳng) không cắt nhau (không có điểm chung, tức chúng chéo nhau). Ta xét xem $\Delta_1$ và $\Delta_2$ có điểm chung không.

Viết dạng tham số:
$$\Delta_1:\ (1+2t;\,-t;\,-1+3t),\qquad \Delta_2:\ (3-s;\,-1+s;\,s).$$

Giả sử hai đường thẳng cắt nhau, cho tọa độ tương ứng bằng nhau:
$$\begin{cases}1+2t=3-s\\ -t=-1+s\\ -1+3t=s\end{cases}\iff \begin{cases}2t+s=2\\ t+s=1\\ 3t-s=1\end{cases}$$

Từ hai phương trình đầu: lấy phương trình thứ nhất trừ phương trình thứ hai được $t=1$, suy ra $s=1-t=0$.

Thay vào phương trình thứ ba: $3\cdot 1-0=3\neq 1$ (vô lí).

Hệ vô nghiệm nên $\Delta_1$ và $\Delta_2$ không có điểm chung. Mặt khác $\vec{u_1}=(2;-1;3)$ và $\vec{u_2}=(-1;1;1)$ không cùng phương (vì $\dfrac{2}{-1}\neq\dfrac{-1}{1}$), nên $\Delta_1$ và $\Delta_2$ chéo nhau.

Hai con đường không cắt nhau (chéo nhau) nên chúng ở hai độ cao khác nhau. Vậy nút giao thông trên là nút giao thông khác mức.

Đáp số