Giải Vận dụng 3 trang 49 SGK Toán 12

Lời giải

Thiết lập phương trình chuyển động của hai vật thể.

Hai vật thể xuất phát cùng lúc và chuyển động thẳng đều. Gọi $t$ ($t \ge 0$) là thời gian kể từ lúc xuất phát.

Vật thể thứ nhất xuất phát từ $A(1; 2; 0)$ với vectơ vận tốc $\vec{v_1} = (2; 1; 3)$ nên tại thời điểm $t$ nó ở vị trí:
$$M_1\big(1 + 2t;\ 2 + t;\ 3t\big).$$

Vật thể thứ hai xuất phát từ $B(3; 5; 0)$ với vectơ vận tốc $\vec{v_2} = (1; 2; 1)$ nên tại thời điểm $t$ nó ở vị trí:
$$M_2\big(3 + t;\ 5 + 2t;\ t\big).$$

Điều kiện va chạm.

Hai vật thể va chạm nhau khi và chỉ khi tại cùng một thời điểm $t \ge 0$ chúng ở cùng một vị trí, tức là $M_1 \equiv M_2$:
$$\begin{cases} 1 + 2t = 3 + t \\ 2 + t = 5 + 2t \\ 3t = t \end{cases}$$

Giải hệ.

- Từ phương trình thứ nhất: $2t - t = 3 - 1 \Rightarrow t = 2.$
- Từ phương trình thứ hai: $t - 2t = 5 - 2 \Rightarrow -t = 3 \Rightarrow t = -3.$
- Từ phương trình thứ ba: $3t - t = 0 \Rightarrow t = 0.$

Ba phương trình cho ba giá trị $t$ khác nhau ($t = 2$, $t = -3$, $t = 0$), do đó hệ vô nghiệm: không tồn tại thời điểm $t$ nào để hai vật thể cùng ở một vị trí.

Kết luận. Trong quá trình chuyển động, hai vật thể không va chạm vào nhau.

*Nhận xét thêm:* Nếu xét hai đường thẳng quỹ đạo (với hai tham số độc lập), thay $s = 3t$ từ tọa độ cao độ vào ta được $1 + 2t = 3 + 3t \Rightarrow t = -2$, khi đó tung độ $2 + t = 0$ nhưng $5 + 2s = 5 + 2(-6) = -7$ (mâu thuẫn), nên hai quỹ đạo thậm chí còn chéo nhau (không cắt nhau). Điều này càng khẳng định hai vật thể không thể va chạm.

Đáp số