Giải Luyện tập 10 trang 49 SGK Toán 12

Lời giải

Bước 1. Xác định vectơ chỉ phương và điểm đi qua của mỗi đường thẳng.

Đường thẳng $\Delta_1$ đi qua điểm $A(1;3;1)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u_1} = (2;1;-1)$.

Đường thẳng $\Delta_2$ đi qua điểm $B(0;1;0)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u_2} = (1;2;3)$.

Bước 2. Xét hai vectơ chỉ phương có cùng phương hay không.

Ta thấy $\dfrac{2}{1} \ne \dfrac{1}{2}$, nên $\vec{u_1}$ và $\vec{u_2}$ không cùng phương. Do đó $\Delta_1$ và $\Delta_2$ không song song và không trùng nhau; chúng chỉ có thể cắt nhau hoặc chéo nhau.

Bước 3. Xét xem hai đường thẳng có điểm chung hay không.

Điểm chung (nếu có) ứng với giá trị $t$, $s$ thỏa mãn hệ:
$$\begin{cases} 1 + 2t = s \\ 3 + t = 1 + 2s \\ 1 - t = 3s. \end{cases}$$

Thay $s = 1 + 2t$ (từ phương trình thứ nhất) vào phương trình thứ hai:
$$3 + t = 1 + 2(1 + 2t) = 3 + 4t \;\Rightarrow\; 3t = 0 \;\Rightarrow\; t = 0,\; s = 1.$$

Thay $t = 0$, $s = 1$ vào phương trình thứ ba để kiểm tra:
$$1 - 0 = 1, \quad 3\cdot 1 = 3 \;\Rightarrow\; 1 \ne 3.$$

Vậy hệ vô nghiệm, tức là $\Delta_1$ và $\Delta_2$ không có điểm chung.

Bước 4. Kết luận.

Hai đường thẳng $\Delta_1$ và $\Delta_2$ có vectơ chỉ phương không cùng phương và không có điểm chung, nên chúng chéo nhau.

Đáp số