Giải Luyện tập 9 trang 48 SGK Toán 12

Lời giải

## a) Chứng minh $\Delta_1 \parallel \Delta_2$

Đường thẳng $\Delta_1$ đi qua điểm $A(1;-2;3)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u_1}=(1;1;4)$.

Đường thẳng $\Delta_2$ đi qua điểm $B(-1;-1;0)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u_2}=(1;1;4)$.

Ta thấy $\vec{u_1}=\vec{u_2}=(1;1;4)$ nên hai vectơ chỉ phương cùng phương, do đó $\Delta_1$ và $\Delta_2$ song song hoặc trùng nhau.

Xét điểm $A(1;-2;3)$: thay vào $\Delta_2$ ta có $\dfrac{1+1}{1}=2$ và $\dfrac{-2+1}{1}=-1$. Vì $2 \ne -1$ nên $A \notin \Delta_2$.

Vậy $\Delta_1$ song song với $\Delta_2$ (đpcm).

## b) Chứng minh $\Delta_1$ và trục $Ox$ chéo nhau

Trục $Ox$ đi qua gốc $O(0;0;0)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{i}=(1;0;0)$.

Đường thẳng $\Delta_1$ đi qua $A(1;-2;3)$, vectơ chỉ phương $\vec{u_1}=(1;1;4)$.

Tính tích có hướng:
$$[\vec{u_1},\vec{i}]=\left(\begin{vmatrix}1&4\\0&0\end{vmatrix};\begin{vmatrix}4&1\\0&1\end{vmatrix};\begin{vmatrix}1&1\\1&0\end{vmatrix}\right)=(0;4;-1).$$

Vì $[\vec{u_1},\vec{i}]=(0;4;-1)\ne \vec{0}$ nên $\Delta_1$ và $Ox$ không song song, không trùng nhau.

Xét $\vec{OA}=(1;-2;3)$, ta có:
$$[\vec{u_1},\vec{i}]\cdot\vec{OA}=0\cdot 1+4\cdot(-2)+(-1)\cdot 3=-8-3=-11\ne 0.$$

Vậy $\Delta_1$ và trục $Ox$ chéo nhau (đpcm).

## c) Chứng minh $\Delta_2$ trùng với $\Delta_3$

Đường thẳng $\Delta_3$ đi qua điểm $C(-2;-2;-4)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u_3}=(1;1;4)$.

Ta thấy $\vec{u_2}=\vec{u_3}=(1;1;4)$ nên hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau.

Xét điểm $C(-2;-2;-4)$ thay vào $\Delta_2$:
$$\dfrac{-2+1}{1}=-1;\quad \dfrac{-2+1}{1}=-1;\quad \dfrac{-4}{4}=-1.$$

Ba tỉ số bằng nhau nên $C \in \Delta_2$. Đường thẳng $\Delta_2$ và $\Delta_3$ có cùng vectơ chỉ phương và có chung điểm $C$.

Vậy $\Delta_2$ trùng với $\Delta_3$ (đpcm).

## d) Chứng minh $\Delta_2$ cắt trục $Oz$

Viết $\Delta_2$ dưới dạng tham số (đi qua $B(-1;-1;0)$, vectơ chỉ phương $(1;1;4)$):
$$\begin{cases}x=-1+t\\ y=-1+t\\ z=4t\end{cases}$$

Mọi điểm trên trục $Oz$ có dạng $(0;0;z)$. Điểm chung (nếu có) phải thỏa mãn $x=0$ và $y=0$.

Từ $x=0$: $-1+t=0 \Rightarrow t=1$. Khi đó $y=-1+1=0$ (thỏa mãn) và $z=4\cdot 1=4$.

Với $t=1$ ta được điểm $M(0;0;4)$ vừa thuộc $\Delta_2$ vừa thuộc trục $Oz$. Do $\Delta_2$ có vectơ chỉ phương $(1;1;4)$ không cùng phương với vectơ chỉ phương $(0;0;1)$ của $Oz$ nên hai đường thẳng chỉ có một điểm chung.

Vậy $\Delta_2$ cắt trục $Oz$ tại điểm $M(0;0;4)$ (đpcm).

Đáp số