Giải Hoạt động 6 trang 47 SGK Toán 12
Đề bài
Xác định vị trí tương đối giữa hai đường thẳng
Trong không gian $Oxyz$, cho hai đường thẳng $\Delta_1, \Delta_2$ lần lượt đi qua các điểm $A_1(x_1; y_1; z_1)$, $A_2(x_2; y_2; z_2)$ và tương ứng có vectơ chỉ phương $\vec{u_1} = (a_1; b_1; c_1)$, $\vec{u_2} = (a_2; b_2; c_2)$ (H.5.29).
a) Tìm điều kiện đối với $\vec{u_1}$ và $\vec{u_2}$ để $\Delta_1$ và $\Delta_2$ song song hoặc trùng nhau.
b) Giả sử $[\vec{u_1}, \vec{u_2}] \neq \vec{0}$ và $\overrightarrow{A_1A_2} \cdot [\vec{u_1}, \vec{u_2}] = 0$ thì $\Delta_1$ và $\Delta_2$ có cắt nhau hay không?
c) Giả sử $\overrightarrow{A_1A_2} \cdot [\vec{u_1}, \vec{u_2}] \neq 0$ thì $\Delta_1$ và $\Delta_2$ có chéo nhau hay không?
Mô tả hình bằng lời
Hình 5.29: Hai đường thẳng trong không gian. Đường thẳng $\Delta_1$ đi qua điểm $A_1$ với vectơ chỉ phương $\vec{u_1}$ hướng về phía trên bên phải. Đường thẳng $\Delta_2$ đi qua điểm $A_2$ với vectơ chỉ phương $\vec{u_2}$ hướng về bên phải. Điểm $A_1$ và $A_2$ được nối bởi một đoạn thẳng (đường chéo). Hai đường thẳng chéo nhau.
Lời giải
a) Điều kiện để $\Delta_1$ song song hoặc trùng với $\Delta_2$.
Đường thẳng $\Delta_1$ có vectơ chỉ phương $\vec{u_1}$, đường thẳng $\Delta_2$ có vectơ chỉ phương $\vec{u_2}$.
Hai đường thẳng $\Delta_1$ và $\Delta_2$ song song hoặc trùng nhau khi và chỉ khi hai giá của chúng cùng phương, tức là hai vectơ chỉ phương $\vec{u_1}$ và $\vec{u_2}$ cùng phương:
$$\vec{u_1} = k\,\vec{u_2}\ (k\neq 0)\quad\Longleftrightarrow\quad [\vec{u_1},\vec{u_2}]=\vec 0.$$
Để phân biệt hai trường hợp, ta xét thêm điểm $A_1\in\Delta_1$:
- Nếu $\vec{u_1},\vec{u_2}$ cùng phương và $A_1\notin\Delta_2$ (tức $\overrightarrow{A_1A_2}$ không cùng phương với $\vec{u_1}$) thì $\Delta_1\parallel\Delta_2$.
- Nếu $\vec{u_1},\vec{u_2}$ cùng phương và $A_1\in\Delta_2$ (tức $\overrightarrow{A_1A_2}$ cùng phương với $\vec{u_1}$) thì $\Delta_1\equiv\Delta_2$.
b) Trường hợp $[\vec{u_1},\vec{u_2}]\neq\vec 0$ và $\overrightarrow{A_1A_2}\cdot[\vec{u_1},\vec{u_2}]=0$.
Vì $[\vec{u_1},\vec{u_2}]\neq\vec 0$ nên $\vec{u_1}$ và $\vec{u_2}$ không cùng phương, do đó $\Delta_1$ và $\Delta_2$ không song song và không trùng nhau. Vậy chúng chỉ có thể cắt nhau hoặc chéo nhau.
Điều kiện $\overrightarrow{A_1A_2}\cdot[\vec{u_1},\vec{u_2}]=0$ cho thấy ba vectơ $\overrightarrow{A_1A_2},\ \vec{u_1},\ \vec{u_2}$ đồng phẳng (tích hỗn tạp bằng $0$). Khi đó hai đường thẳng $\Delta_1$ (qua $A_1$, phương $\vec{u_1}$) và $\Delta_2$ (qua $A_2$, phương $\vec{u_2}$) cùng nằm trong một mặt phẳng. Hai đường thẳng cùng nằm trong một mặt phẳng mà không song song thì phải cắt nhau.
Vậy trong trường hợp này $\Delta_1$ và $\Delta_2$ cắt nhau.
c) Trường hợp $\overrightarrow{A_1A_2}\cdot[\vec{u_1},\vec{u_2}]\neq 0$.
Vì $\overrightarrow{A_1A_2}\cdot[\vec{u_1},\vec{u_2}]\neq 0$ nên trước hết $[\vec{u_1},\vec{u_2}]\neq\vec 0$, suy ra $\vec{u_1},\vec{u_2}$ không cùng phương: hai đường thẳng không song song, không trùng nhau.
Mặt khác, tích hỗn tạp khác $0$ chứng tỏ ba vectơ $\overrightarrow{A_1A_2},\ \vec{u_1},\ \vec{u_2}$ không đồng phẳng, nên hai đường thẳng $\Delta_1$ và $\Delta_2$ không cùng nằm trong một mặt phẳng, do đó chúng không thể cắt nhau.
Vậy $\Delta_1$ và $\Delta_2$ chéo nhau.
Đáp số
Lời giải do Thư viện nhà trường biên soạn, giải và kiểm chéo độc lập theo SGK 2026-2027.