Giải Vận dụng 1 trang 46 SGK Toán 12

Lời giải

a) Phương trình tham số của đường thẳng $MN$.

Trong tình huống mở đầu, đường thẳng $MN$ đi qua hai điểm $M(2\,;\,3\,;\,-4)$ và $N(-1\,;\,0\,;\,8)$.

Đường thẳng $MN$ nhận vectơ $\overrightarrow{MN}$ làm vectơ chỉ phương:
$$\overrightarrow{MN}=(-1-2\,;\,0-3\,;\,8-(-4))=(-3\,;\,-3\,;\,12).$$

Đường thẳng $MN$ đi qua $M(2\,;\,3\,;\,-4)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{MN}=(-3\,;\,-3\,;\,12)$ nên có phương trình tham số:
$$\begin{cases} x=2-3t \\ y=3-3t \\ z=-4+12t \end{cases}\quad (t\in\mathbb{R}).$$

b) Toạ độ giao điểm $D$ của đường thẳng $MN$ với mặt phẳng $(Oxy)$.

Vì $D$ nằm trên đường thẳng $MN$ nên $D(2-3t\,;\,3-3t\,;\,-4+12t)$.

Mặt phẳng $(Oxy)$ có phương trình $z=0$. Do $D\in(Oxy)$ nên:
$$-4+12t=0 \;\Leftrightarrow\; t=\dfrac{1}{3}.$$

Thay $t=\dfrac{1}{3}$ vào phương trình tham số:
$$x=2-3\cdot\dfrac{1}{3}=1,\qquad y=3-3\cdot\dfrac{1}{3}=2,\qquad z=0.$$

Vậy $D(1\,;\,2\,;\,0)$.

c) Điểm $D$ có nằm giữa hai điểm $M$ và $N$ hay không?

Với phương trình tham số trên: khi $t=0$ ta được điểm $M$; khi $t=1$ ta được điểm $N$ (vì $x=2-3=-1$, $y=3-3=0$, $z=-4+12=8$, đúng là $N(-1\,;\,0\,;\,8)$).

Điểm $D$ ứng với $t=\dfrac{1}{3}$, tức là:
$$\overrightarrow{MD}=\dfrac{1}{3}\,\overrightarrow{MN}.$$

Vì $0<\dfrac{1}{3}<1$ nên $\overrightarrow{MD}$ cùng hướng với $\overrightarrow{MN}$ và $MD<MN$. Do đó điểm $D$ nằm giữa hai điểm $M$ và $N$.

Kết luận: Điểm $D$ nằm giữa hai điểm $M$ và $N$.

Đáp số