Giải Hoạt động 3 trang 44 SGK Toán 12

Lời giải

a) Đường thẳng $\Delta$ đi qua $A$ và nhận $\vec{u}$ làm vectơ chỉ phương, nên $\vec{u}$ là một vectơ chỉ phương của $\Delta$.

Điểm $M(x; y; z)$ thuộc $\Delta$ khi và chỉ khi vectơ $\overrightarrow{AM}$ cùng phương với vectơ chỉ phương $\vec{u}$, tức là tồn tại số thực $t$ sao cho:
$$\overrightarrow{AM} = t\,\vec{u}.$$
Như vậy, hai vectơ $\overrightarrow{AM}=(x-x_0;\,y-y_0;\,z-z_0)$ và $\vec{u}=(a;\,b;\,c)$ cùng phương (tỉ lệ với nhau).

b) Từ $\overrightarrow{AM} = t\,\vec{u}$, so sánh từng tọa độ ta được:
$$\begin{cases} x - x_0 = a\,t \\ y - y_0 = b\,t \\ z - z_0 = c\,t \end{cases}$$
Vì $a, b, c$ đều khác $0$, ta chia mỗi phương trình cho $a$, $b$, $c$ tương ứng:
$$\dfrac{x - x_0}{a} = t,\quad \dfrac{y - y_0}{b} = t,\quad \dfrac{z - z_0}{c} = t.$$
Do cả ba biểu thức cùng bằng $t$ nên chúng bằng nhau:
$$\dfrac{x - x_0}{a} = \dfrac{y - y_0}{b} = \dfrac{z - z_0}{c}.$$
Đây chính là phương trình chính tắc của đường thẳng $\Delta$.

Đáp số