Giải Hoạt động 5 trang 11 SGK Toán 12

Lời giải

Hàm số $y=f(x)=\dfrac{1}{3}x^3-3x^2+8x+1$ xác định trên $\mathbb{R}$.

a) $f'(x)=x^2-6x+8$. Giải $f'(x)=0$: $x^2-6x+8=0\Leftrightarrow(x-2)(x-4)=0\Leftrightarrow x=2$ hoặc $x=4$.

b) Vì $f'(x)$ là tam thức bậc hai có hệ số cao nhất dương với hai nghiệm $2$ và $4$ nên $f'(x)>0$ trên $(-\infty;2)$ và $(4;+\infty)$, $f'(x)<0$ trên $(2;4)$. Tính $f(2)=\dfrac{8}{3}-12+16+1=\dfrac{23}{3}$; $f(4)=\dfrac{64}{3}-48+32+1=\dfrac{19}{3}$. Bảng biến thiên: hàm số đồng biến trên $(-\infty;2)$, đạt giá trị $\dfrac{23}{3}$ tại $x=2$, nghịch biến trên $(2;4)$, đạt giá trị $\dfrac{19}{3}$ tại $x=4$, rồi đồng biến trên $(4;+\infty)$; $\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty$, $\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$.

c) Từ bảng biến thiên: $f'(x)$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ khi qua $x=2$ nên hàm số đạt cực đại tại $x=2$, $y_{CĐ}=\dfrac{23}{3}$; $f'(x)$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ khi qua $x=4$ nên hàm số đạt cực tiểu tại $x=4$, $y_{CT}=\dfrac{19}{3}$.

Đáp số