Giải Bài 6.35 trang 20 SBT Toán 9

Lời giải

a) $u - v = 2,\ uv = 255$.

Đặt $t = -v$. Khi đó:
$$u + t = u - v = 2,\qquad u\cdot t = -uv = -255.$$
Vậy $u$ và $t$ là hai nghiệm của phương trình:
$$x^2 - 2x - 255 = 0.$$
Ta có $\Delta' = (-1)^2 - 1\cdot(-255) = 1 + 255 = 256 > 0$, nên $\sqrt{\Delta'} = 16$.
$$x_1 = 1 + 16 = 17,\qquad x_2 = 1 - 16 = -15.$$

- Nếu $u = 17,\ t = -15$ thì $v = -t = 15$. Thử lại: $u - v = 17 - 15 = 2$, $uv = 17\cdot 15 = 255$ (đúng).
- Nếu $u = -15,\ t = 17$ thì $v = -t = -17$. Thử lại: $u - v = -15 - (-17) = 2$, $uv = (-15)(-17) = 255$ (đúng).

Vậy $u = 17,\ v = 15$ hoặc $u = -15,\ v = -17$.

b) $u^2 + v^2 = 346,\ uv = 165$.

Ta có:
$$(u+v)^2 = u^2 + v^2 + 2uv = 346 + 2\cdot 165 = 676 \Rightarrow u + v = \pm 26.$$
Kết hợp với $uv = 165$, hai số $u,\ v$ là nghiệm của phương trình $x^2 - Sx + 165 = 0$ với $S = u+v$.

Trường hợp 1: $u + v = 26$. Phương trình: $x^2 - 26x + 165 = 0$.
$$\Delta = (-26)^2 - 4\cdot 165 = 676 - 660 = 16 > 0,\quad \sqrt{\Delta} = 4.$$
$$x_1 = \dfrac{26 + 4}{2} = 15,\qquad x_2 = \dfrac{26 - 4}{2} = 11.$$
Vậy $\{u; v\} = \{15; 11\}$.

Trường hợp 2: $u + v = -26$. Phương trình: $x^2 + 26x + 165 = 0$.
$$\Delta = 26^2 - 4\cdot 165 = 676 - 660 = 16 > 0,\quad \sqrt{\Delta} = 4.$$
$$x_1 = \dfrac{-26 + 4}{2} = -11,\qquad x_2 = \dfrac{-26 - 4}{2} = -15.$$
Vậy $\{u; v\} = \{-11; -15\}$.

Thử lại với $u = 15,\ v = 11$: $u^2 + v^2 = 225 + 121 = 346$, $uv = 165$ (đúng); tương tự với $u = -11,\ v = -15$.

Vậy hai số cần tìm là $\{u; v\} = \{15; 11\}$ hoặc $\{u; v\} = \{-11; -15\}$.

Đáp số