Giải Bài 6.26 trang 17 SBT Toán 9

Lời giải

a) Tìm tỉ số giữa chiều dài và chiều rộng của hai hình chữ nhật.

*Hình chữ nhật $ABCD$:* chiều dài $DC = x$, chiều rộng $AD = 1$. Do đó
$$\dfrac{\text{chiều dài}}{\text{chiều rộng}} = \dfrac{x}{1} = x.$$

*Hình chữ nhật $EBCF$:* hai cạnh của nó là $FC = EB = x - 1$ và $BC = EF = AD = 1$.

Vì $ABCD$ là hình chữ nhật vàng nên $x \approx 1{,}6 > 2$ là sai; thực tế $1 < x < 2$, suy ra $x - 1 < 1$. Vậy cạnh dài là $1$ và cạnh ngắn là $x - 1$. Do đó
$$\dfrac{\text{chiều dài}}{\text{chiều rộng}} = \dfrac{1}{x-1}.$$

b) Tìm giá trị chính xác của tỉ lệ vàng.

Vì hình chữ nhật $EBCF$ có các kích thước tỉ lệ với các kích thước tương ứng của hình chữ nhật ban đầu $ABCD$ (cùng hệ số tỉ lệ), nên hai tỉ số ở câu a phải bằng nhau:
$$x = \dfrac{1}{x-1}.$$

Với điều kiện $x > 1$, nhân hai vế với $x - 1$:
$$x(x-1) = 1 \;\Leftrightarrow\; x^2 - x - 1 = 0.$$

Đây là phương trình bậc hai một ẩn. Ta có $\Delta = (-1)^2 - 4\cdot 1 \cdot(-1) = 1 + 4 = 5 > 0$, nên phương trình có hai nghiệm:
$$x_1 = \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2}, \qquad x_2 = \dfrac{1 - \sqrt{5}}{2}.$$

Vì $x$ là tỉ số hai độ dài nên $x > 0$; hơn nữa $x > 1$. Ta thấy $x_2 = \dfrac{1-\sqrt 5}{2} < 0$ (loại), chỉ nhận
$$x = \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2}.$$

Kiểm tra: với $x = \dfrac{1+\sqrt5}{2}$ thì $x - 1 = \dfrac{-1+\sqrt5}{2}$ và $\dfrac{1}{x-1} = \dfrac{2}{\sqrt5 - 1} = \dfrac{2(\sqrt5+1)}{(\sqrt5-1)(\sqrt5+1)} = \dfrac{2(\sqrt5+1)}{4} = \dfrac{\sqrt5+1}{2} = x.$ Hai tỉ số bằng nhau, thỏa mãn.

Vậy tỉ lệ vàng có giá trị chính xác là $x = \dfrac{1+\sqrt5}{2} \approx 1{,}618.$

Đáp số