Giải Bài 6.21 trang 13 SBT Toán 9

Lời giải

Bước 1. Điều kiện để hai nghiệm khác 0.

Vì phương trình $ax^2+bx+c=0\ (a\neq0)$ có hai nghiệm $x_1,x_2$, theo định lí Viète ta có:
$$x_1+x_2=-\dfrac{b}{a},\qquad x_1x_2=\dfrac{c}{a}.$$

Hai nghiệm $x_1,x_2$ đều khác $0$ nên tích $x_1x_2=\dfrac{c}{a}\neq0$, suy ra $c\neq0$. Do đó $\dfrac{1}{x_1}$ và $\dfrac{1}{x_2}$ đều xác định.

Bước 2. Tính tổng và tích của hai nghiệm mới.

Gọi $S$ và $P$ lần lượt là tổng và tích của hai số $\dfrac{1}{x_1}$ và $\dfrac{1}{x_2}$.

$$S=\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}=\dfrac{x_1+x_2}{x_1x_2}=\dfrac{-\dfrac{b}{a}}{\dfrac{c}{a}}=-\dfrac{b}{c}.$$

$$P=\dfrac{1}{x_1}\cdot\dfrac{1}{x_2}=\dfrac{1}{x_1x_2}=\dfrac{1}{\dfrac{c}{a}}=\dfrac{a}{c}.$$

Bước 3. Lập phương trình bậc hai nhận $\dfrac{1}{x_1},\dfrac{1}{x_2}$ làm nghiệm.

Hai số $\dfrac{1}{x_1},\dfrac{1}{x_2}$ là nghiệm của phương trình $X^2-SX+P=0$, tức là:
$$X^2+\dfrac{b}{c}X+\dfrac{a}{c}=0.$$

Nhân hai vế với $c\ (c\neq0)$, ta được phương trình bậc hai cần tìm:
$$\boxed{cx^2+bx+a=0}.$$

Bước 4. Kiểm tra lại.

Áp dụng định lí Viète cho phương trình $cx^2+bx+a=0$ (với $c\neq0$): tổng hai nghiệm bằng $-\dfrac{b}{c}=S$, tích hai nghiệm bằng $\dfrac{a}{c}=P$. Đúng bằng tổng và tích của $\dfrac{1}{x_1},\dfrac{1}{x_2}$ đã tính ở trên. Vậy phương trình $cx^2+bx+a=0$ thỏa mãn yêu cầu.

Đáp số