Giải Bài 6.20 trang 13 SBT Toán 9

Lời giải

Phương trình: $x^2 - 4x + m - 2 = 0$ (ẩn $x$), với $a = 1,\ b = -4,\ c = m - 2$.

a) Tìm điều kiện của $m$ để phương trình có nghiệm.

Phương trình bậc hai có nghiệm khi $\Delta \ge 0$. Ta dùng $\Delta'$ với $b' = -2$:
$$\Delta' = b'^2 - ac = (-2)^2 - 1\cdot(m-2) = 4 - m + 2 = 6 - m.$$
Phương trình có nghiệm $\Leftrightarrow \Delta' \ge 0 \Leftrightarrow 6 - m \ge 0 \Leftrightarrow m \le 6.$

Vậy với $m \le 6$ thì phương trình có nghiệm.

b) Tính $A$ và $B$ theo $m$.

Với $m \le 6$, phương trình có hai nghiệm $x_1, x_2$. Theo định lí Vi-ét:
$$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = 4, \qquad x_1 x_2 = \frac{c}{a} = m - 2.$$

*Tính $A = x_1^2 + x_2^2$:*
$$A = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2 = 4^2 - 2(m-2) = 16 - 2m + 4 = 20 - 2m.$$

*Tính $B = x_1^3 + x_2^3$:*
$$B = (x_1 + x_2)^3 - 3x_1 x_2 (x_1 + x_2) = 4^3 - 3(m-2)\cdot 4 = 64 - 12(m-2) = 64 - 12m + 24 = 88 - 12m.$$

Kiểm tra: $B = (x_1+x_2)(A - x_1 x_2) = 4\big[(20-2m) - (m-2)\big] = 4(22 - 3m) = 88 - 12m.$ Khớp kết quả.

Vậy $A = 20 - 2m$ và $B = 88 - 12m$ (với $m \le 6$).

Đáp số