Giải Bài 3.19 trang 36 SBT Toán 9

Lời giải

Bước 1. Rút gọn tổng trong ngoặc thứ nhất.

Đặt $S = \dfrac{\sqrt{5}+1}{1+\sqrt{5}+\sqrt{3}} + \dfrac{\sqrt{5}-1}{1+\sqrt{3}-\sqrt{5}}$.

Đặt $a = 1+\sqrt{3}$ thì hai mẫu là $a+\sqrt{5}$ và $a-\sqrt{5}$, nên mẫu chung là:
$$(a+\sqrt{5})(a-\sqrt{5}) = a^2 - 5 = (1+\sqrt{3})^2 - 5 = (4+2\sqrt{3}) - 5 = 2\sqrt{3}-1.$$

Tử số:
$$(\sqrt{5}+1)(a-\sqrt{5}) + (\sqrt{5}-1)(a+\sqrt{5}).$$

Ta có:
$$(\sqrt{5}+1)(a-\sqrt{5}) = \sqrt{5}\,a - 5 + a - \sqrt{5},$$
$$(\sqrt{5}-1)(a+\sqrt{5}) = \sqrt{5}\,a + 5 - a - \sqrt{5}.$$

Cộng lại: $2\sqrt{5}\,a - 2\sqrt{5} = 2\sqrt{5}(a-1) = 2\sqrt{5}\cdot\sqrt{3} = 2\sqrt{15}$.

Vậy $S = \dfrac{2\sqrt{15}}{2\sqrt{3}-1}$.

Bước 2. Rút gọn thừa số thứ hai.
$$\sqrt{3} - \dfrac{4}{\sqrt{3}} + 2 = \dfrac{3\sqrt{3} - 4\sqrt{3}}{3} + 2 = \dfrac{-\sqrt{3}}{3} + 2 = \dfrac{6-\sqrt{3}}{3}.$$

Bước 3. Rút gọn thừa số thứ ba.
$$\sqrt{0{,}2} = \sqrt{\dfrac{1}{5}} = \dfrac{1}{\sqrt{5}} = \dfrac{\sqrt{5}}{5}.$$

Bước 4. Nhân ba thừa số.
$$P = \dfrac{2\sqrt{15}}{2\sqrt{3}-1}\cdot\dfrac{6-\sqrt{3}}{3}\cdot\dfrac{\sqrt{5}}{5}.$$

Vì $\sqrt{15}\cdot\sqrt{5} = \sqrt{75} = 5\sqrt{3}$ nên:
$$P = \dfrac{2\cdot 5\sqrt{3}}{2\sqrt{3}-1}\cdot\dfrac{6-\sqrt{3}}{15} = \dfrac{10\sqrt{3}\,(6-\sqrt{3})}{15(2\sqrt{3}-1)}.$$

Khai triển tử: $10\sqrt{3}(6-\sqrt{3}) = 60\sqrt{3} - 30 = 30(2\sqrt{3}-1)$.

Do đó:
$$P = \dfrac{30(2\sqrt{3}-1)}{15(2\sqrt{3}-1)} = \dfrac{30}{15} = 2.$$

Kết luận: $P = 2$ là một số nguyên (đpcm).

*(Kiểm tra bằng giá trị gần đúng: $S \approx 3{,}1436$; thừa số hai $\approx 1{,}4226$; thừa số ba $\approx 0{,}4472$; tích $\approx 2$, phù hợp.)*

Đáp số