Giải Bài 3.18 trang 36 SBT Toán 9

Lời giải

Phân tích các biểu thức dưới dấu căn.

Ta nhận thấy các biểu thức đều viết được thành bình phương của một biểu thức:

$$3-2\sqrt{2}=2-2\sqrt{2}+1=(\sqrt{2}-1)^2$$

$$17-12\sqrt{2}=9-12\sqrt{2}+8=(3-2\sqrt{2})^2=\big[(\sqrt{2}-1)^2\big]^2=(\sqrt{2}-1)^4$$

Tương tự:

$$3+2\sqrt{2}=(\sqrt{2}+1)^2,\qquad 17+12\sqrt{2}=(\sqrt{2}+1)^4$$

Rút gọn số hạng thứ nhất.

$$\sqrt{\dfrac{3-2\sqrt{2}}{17-12\sqrt{2}}}=\sqrt{\dfrac{(\sqrt{2}-1)^2}{(\sqrt{2}-1)^4}}=\sqrt{\dfrac{1}{(\sqrt{2}-1)^2}}=\dfrac{1}{|\sqrt{2}-1|}=\dfrac{1}{\sqrt{2}-1}$$

Vì $\sqrt{2}>1$ nên $|\sqrt{2}-1|=\sqrt{2}-1$. Trục căn thức ở mẫu:

$$\dfrac{1}{\sqrt{2}-1}=\dfrac{\sqrt{2}+1}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)}=\dfrac{\sqrt{2}+1}{2-1}=\sqrt{2}+1$$

Rút gọn số hạng thứ hai.

$$\sqrt{\dfrac{3+2\sqrt{2}}{17+12\sqrt{2}}}=\sqrt{\dfrac{(\sqrt{2}+1)^2}{(\sqrt{2}+1)^4}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}+1}=\dfrac{\sqrt{2}-1}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)}=\sqrt{2}-1$$

Tính hiệu.

$$\sqrt{\dfrac{3-2\sqrt{2}}{17-12\sqrt{2}}}-\sqrt{\dfrac{3+2\sqrt{2}}{17+12\sqrt{2}}}=(\sqrt{2}+1)-(\sqrt{2}-1)=2$$

Kiểm tra lại bằng số gần đúng. Với $\sqrt{2}\approx 1{,}414$: số hạng thứ nhất $\approx 2{,}414$, số hạng thứ hai $\approx 0{,}414$, hiệu $\approx 2$ — đúng.

Vậy giá trị của biểu thức bằng $2$.

Đáp số