Giải Bài 3.13 trang 34 SBT Toán 9

Lời giải

Ta so sánh $A=\sqrt{\sqrt{6+\sqrt{20}}}$ và $B=\sqrt{\sqrt{6}+1}$.

Bước 1. Đưa về so sánh biểu thức dưới dấu căn ngoài cùng.

Cả $A$ và $B$ đều không âm. Vì với hai số không âm, số nào có bình phương lớn hơn thì lớn hơn, nên so sánh $A$ với $B$ tương đương với so sánh:
$$A^2=\sqrt{6+\sqrt{20}} \quad\text{và}\quad B^2=\sqrt{6}+1.$$

Bước 2. So sánh $\sqrt{6+\sqrt{20}}$ và $\sqrt{6}+1$.

Hai số này cũng đều dương. Ta bình phương tiếp:
$$\left(\sqrt{6+\sqrt{20}}\right)^2=6+\sqrt{20},$$
$$\left(\sqrt{6}+1\right)^2=6+2\sqrt{6}+1=7+2\sqrt{6}.$$

Bước 3. So sánh $6+\sqrt{20}$ và $7+2\sqrt{6}$.

Ta có $\sqrt{20}=\sqrt{4\cdot 5}=2\sqrt{5}$, nên cần so sánh:
$$6+2\sqrt{5} \quad\text{và}\quad 7+2\sqrt{6}.$$

Vì $5<6$ nên $\sqrt{5}<\sqrt{6}$, suy ra $2\sqrt{5}<2\sqrt{6}$. Mặt khác $6<7$. Cộng vế với vế hai bất đẳng thức cùng chiều:
$$6+2\sqrt{5}<7+2\sqrt{6}.$$

Bước 4. Suy ngược lại.

Từ $6+\sqrt{20}<7+2\sqrt{6}$ và hai số $\sqrt{6+\sqrt{20}},\ \sqrt{6}+1$ đều dương, ta được:
$$\sqrt{6+\sqrt{20}}<\sqrt{6}+1,\quad\text{tức là } A^2<B^2.$$

Do $A,\ B$ đều không âm nên:
$$A<B,\quad\text{tức là } \sqrt{\sqrt{6+\sqrt{20}}}<\sqrt{\sqrt{6}+1}.$$

Kiểm tra bằng số: $A=\sqrt{\sqrt{10,472}}\approx 1,80$; $B=\sqrt{2,449+1}\approx 1,86$. Vậy $A<B$ (đúng).

Kết luận: $\sqrt{\sqrt{6+\sqrt{20}}}<\sqrt{\sqrt{6}+1}$.

Đáp số