Giải Bài 3.11 trang 34 SBT Toán 9

Lời giải

Nhận xét: Ta ghép hai căn thức đầu (dạng $\sqrt{A}\cdot\sqrt{B}=\sqrt{AB}$ vì các biểu thức dưới căn đều không âm) để triệt tiêu căn lồng nhau.

Bước 1. Nhân hai thừa số đầu:
$$\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt2}}\cdot\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt2}}=\sqrt{\left(2+\sqrt{2+\sqrt2}\right)\left(2-\sqrt{2+\sqrt2}\right)}.$$
Áp dụng hằng đẳng thức $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$ với $a=2,\ b=\sqrt{2+\sqrt2}$:
$$=\sqrt{2^2-\left(\sqrt{2+\sqrt2}\right)^2}=\sqrt{4-(2+\sqrt2)}=\sqrt{2-\sqrt2}.$$

Bước 2. Rút gọn thừa số thứ ba. Vì $\sqrt8=\sqrt{4\cdot2}=2\sqrt2$ nên
$$\sqrt{4+\sqrt8}=\sqrt{4+2\sqrt2}.$$

Bước 3. Do đó
$$P=\sqrt{2-\sqrt2}\cdot\sqrt{4+2\sqrt2}=\sqrt{\left(2-\sqrt2\right)\left(4+2\sqrt2\right)}.$$
Khai triển biểu thức dưới căn:
$$\left(2-\sqrt2\right)\left(4+2\sqrt2\right)=8+4\sqrt2-4\sqrt2-2\cdot2=8-4=4.$$
Vậy
$$P=\sqrt{4}=2.$$

Kiểm tra lại (ước lượng số): $\sqrt{2-\sqrt2}\approx\sqrt{0{,}586}\approx0{,}765$ và $\sqrt{4+2\sqrt2}\approx\sqrt{6{,}828}\approx2{,}613$; tích $\approx0{,}765\cdot2{,}613\approx2{,}00$. Kết quả khớp.

Kết luận: $P=2$.

Đáp số