Giải Bài 3.10 trang 34 SBT Toán 9

Lời giải

a) $\sqrt{8+\sqrt{15}}\cdot\sqrt{8-\sqrt{15}}$

Vì $8+\sqrt{15}>0$ và $8-\sqrt{15}>0$ (do $\sqrt{15}<\sqrt{16}=4<8$) nên các căn thức đều xác định.

Áp dụng quy tắc nhân các căn bậc hai $\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{ab}$ (với $a,b\ge 0$):

$$\sqrt{8+\sqrt{15}}\cdot\sqrt{8-\sqrt{15}}=\sqrt{(8+\sqrt{15})(8-\sqrt{15})}.$$

Dùng hằng đẳng thức $(A+B)(A-B)=A^2-B^2$:

$$(8+\sqrt{15})(8-\sqrt{15})=8^2-(\sqrt{15})^2=64-15=49.$$

Do đó:

$$\sqrt{8+\sqrt{15}}\cdot\sqrt{8-\sqrt{15}}=\sqrt{49}=7.$$

Vậy biểu thức có giá trị là số nguyên $7$ (đpcm).

b) $\left(\sqrt{6-\sqrt{11}}+\sqrt{6+\sqrt{11}}\right)^2$

Vì $\sqrt{11}<\sqrt{36}=6$ nên $6-\sqrt{11}>0$ và $6+\sqrt{11}>0$, các căn thức đều xác định.

Gọi $A=\left(\sqrt{6-\sqrt{11}}+\sqrt{6+\sqrt{11}}\right)^2$. Dùng hằng đẳng thức $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$:

$$A=\left(\sqrt{6-\sqrt{11}}\right)^2+2\cdot\sqrt{6-\sqrt{11}}\cdot\sqrt{6+\sqrt{11}}+\left(\sqrt{6+\sqrt{11}}\right)^2.$$

Ta có $\left(\sqrt{6-\sqrt{11}}\right)^2=6-\sqrt{11}$ và $\left(\sqrt{6+\sqrt{11}}\right)^2=6+\sqrt{11}$, nên:

$$\left(\sqrt{6-\sqrt{11}}\right)^2+\left(\sqrt{6+\sqrt{11}}\right)^2=(6-\sqrt{11})+(6+\sqrt{11})=12.$$

Tính phần tích:

$$\sqrt{6-\sqrt{11}}\cdot\sqrt{6+\sqrt{11}}=\sqrt{(6-\sqrt{11})(6+\sqrt{11})}=\sqrt{6^2-(\sqrt{11})^2}=\sqrt{36-11}=\sqrt{25}=5.$$

Suy ra:

$$A=12+2\cdot 5=12+10=22.$$

Vậy biểu thức có giá trị là số nguyên $22$ (đpcm).

Đáp số