Giải Bài 2.24 trang 29 SBT Toán 9

Lời giải

Vì $a>0,\ b>0$ nên $ab>0$. Quy đồng vế trái:

$$\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}=\dfrac{a^2+b^2}{ab}.$$

Xét hiệu giữa tử và $2ab$:

$$a^2+b^2-2ab=(a-b)^2\ge 0\quad\text{với mọi }a,b.$$

Suy ra $a^2+b^2\ge 2ab$. Chia cả hai vế cho $ab>0$ (bất đẳng thức không đổi chiều):

$$\dfrac{a^2+b^2}{ab}\ge \dfrac{2ab}{ab}=2.$$

Do đó $\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\ge 2$ với mọi $a>0,\ b>0$ (đpcm).

Dấu "$=$" xảy ra khi $(a-b)^2=0$, tức là $a=b$.

Đáp số