Giải Bài 2.23 trang 29 SBT Toán 9

Lời giải

a) Cho $a<b$ và $c<d$, chứng minh $a+c<b+d$.

Từ $a<b$, cộng cả hai vế với $c$ ta được:
$$a+c<b+c \quad (1)$$

Từ $c<d$, cộng cả hai vế với $b$ ta được:
$$b+c<b+d \quad (2)$$

Từ $(1)$ và $(2)$, theo tính chất bắc cầu:
$$a+c<b+c<b+d$$

Vậy $a+c<b+d$ (đpcm).

b) Cho $0<a<b$ và $0<c<d$, chứng minh $0<ac<bd$.

Vì $a>0$ và $c>0$ nên $ac>0 \quad (3)$

Từ $a<b$, nhân cả hai vế với $c>0$ (bất đẳng thức không đổi chiều):
$$ac<bc \quad (4)$$

Từ $c<d$, nhân cả hai vế với $b>0$ (vì $b>a>0$ nên $b>0$):
$$bc<bd \quad (5)$$

Từ $(4)$ và $(5)$, theo tính chất bắc cầu:
$$ac<bc<bd \quad \text{nên} \quad ac<bd \quad (6)$$

Kết hợp $(3)$ và $(6)$ ta được:
$$0<ac<bd$$

Vậy $0<ac<bd$ (đpcm).

Đáp số