Giải Bài 6.40 trang 21 SBT Toán 9

Lời giải

Phân tích. Coi lượng nước đầy bể là $1$ (một đơn vị công việc).

Đổi hỗn số: $4\dfrac{4}{5} = \dfrac{24}{5}$ (giờ).

Gọi ẩn. Gọi thời gian vòi thứ nhất chảy riêng đầy bể là $x$ (giờ) và thời gian vòi thứ hai chảy riêng đầy bể là $y$ (giờ), với $x>0,\ y>0$.

Khi đó trong $1$ giờ:
- Vòi thứ nhất chảy được $\dfrac{1}{x}$ (bể),
- Vòi thứ hai chảy được $\dfrac{1}{y}$ (bể).

Lập hệ phương trình.

*Điều kiện thứ nhất:* Hai vòi cùng chảy thì sau $\dfrac{24}{5}$ giờ đầy bể, nên mỗi giờ hai vòi chảy được $\dfrac{5}{24}$ bể:
$$\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{5}{24}.$$

*Điều kiện thứ hai:* Vòi thứ nhất chảy riêng $9$ giờ, rồi cả hai vòi cùng chảy thêm $\dfrac{6}{5}$ giờ thì đầy bể. Vậy:
- Vòi thứ nhất chảy tổng cộng $9+\dfrac{6}{5}=\dfrac{51}{5}$ (giờ),
- Vòi thứ hai chảy $\dfrac{6}{5}$ (giờ),

nên:
$$\dfrac{51}{5}\cdot\dfrac{1}{x}+\dfrac{6}{5}\cdot\dfrac{1}{y}=1.$$

Giải hệ. Đặt $a=\dfrac{1}{x},\ b=\dfrac{1}{y}$ ta được hệ:
$$\begin{cases} a+b=\dfrac{5}{24}\\[4pt] \dfrac{51}{5}\,a+\dfrac{6}{5}\,b=1\end{cases}$$

Nhân hai vế phương trình thứ hai với $5$: $\;51a+6b=5$.

Từ phương trình thứ nhất: $b=\dfrac{5}{24}-a$. Thế vào:
$$51a+6\left(\dfrac{5}{24}-a\right)=5 \;\Rightarrow\; 45a+\dfrac{5}{4}=5 \;\Rightarrow\; 45a=\dfrac{15}{4} \;\Rightarrow\; a=\dfrac{1}{12}.$$

Suy ra $b=\dfrac{5}{24}-\dfrac{1}{12}=\dfrac{5}{24}-\dfrac{2}{24}=\dfrac{3}{24}=\dfrac{1}{8}.$

Vậy $x=12,\ y=8$ (thỏa mãn điều kiện $x>0,\ y>0$).

Kiểm tra lại.
- Cùng chảy: $\dfrac{1}{12}+\dfrac{1}{8}=\dfrac{2}{24}+\dfrac{3}{24}=\dfrac{5}{24}$, tức đầy bể sau $\dfrac{24}{5}=4\dfrac{4}{5}$ giờ. Đúng.
- Vòi thứ nhất chảy $\dfrac{51}{5}$ giờ được $\dfrac{51}{5}\cdot\dfrac{1}{12}=\dfrac{17}{20}$ bể; vòi thứ hai chảy $\dfrac{6}{5}$ giờ được $\dfrac{6}{5}\cdot\dfrac{1}{8}=\dfrac{3}{20}$ bể. Tổng $=\dfrac{17}{20}+\dfrac{3}{20}=1$ (đầy bể). Đúng.

Kết luận. Vòi thứ nhất chảy riêng thì sau $12$ giờ đầy bể; vòi thứ hai chảy riêng thì sau $8$ giờ đầy bể.

Đáp số