Giải Vận dụng trang 59 Chuyên đề Toán 12

Lời giải

Tóm tắt bài toán (tình huống mở đầu): Anh Hùng vay $V = 500$ triệu đồng với lãi suất năm $r = 7{,}4\%$, trả góp đều vào cuối mỗi tháng trong $n = 60$ tháng (5 năm). Hỏi mỗi tháng phải trả bao nhiêu, tổng số tiền phải trả và số tiền lãi.

Lãi suất mỗi tháng:
$$i = \frac{r}{12} = \frac{7{,}4\%}{12} = \frac{7{,}4}{1200} \approx 0{,}006167 = 0{,}6167\%.$$

Thiết lập công thức trả góp. Gọi $P$ là số tiền trả đều cuối mỗi tháng. Sau khi trả hết $n$ tháng thì dư nợ bằng $0$. Vì mỗi khoản trả $P$ ở tháng thứ $k$ được quy về thời điểm vay bằng cách chia cho $(1+i)^k$, ta có:
$$V = \frac{P}{1+i} + \frac{P}{(1+i)^2} + \cdots + \frac{P}{(1+i)^n}.$$
Đây là tổng của một cấp số nhân với công bội $q = \dfrac{1}{1+i}$, nên:
$$V = P\cdot\frac{1-(1+i)^{-n}}{i} \;\Rightarrow\; P = V\cdot\frac{i}{1-(1+i)^{-n}}.$$

a) Số tiền phải trả mỗi tháng.

Tính $(1+i)^{60}$ với $i = \dfrac{7{,}4}{1200}$:
$$(1+i)^{60} = \left(1+\frac{7{,}4}{1200}\right)^{60} \approx 1{,}4461.$$
Suy ra:
$$P = 500\cdot\frac{0{,}006167}{1-\dfrac{1}{1{,}4461}} = \frac{500\times 0{,}006167}{1-0{,}6915} = \frac{3{,}0833}{0{,}3085} \approx 9{,}996 \text{ (triệu đồng)}.$$

Theo thông lệ ngân hàng làm tròn lên đến hàng nghìn đồng, mỗi tháng anh Hùng phải trả khoảng $\mathbf{9\,996\,000}$ đồng.

b) Tổng số tiền phải trả.
$$T = P\cdot n = 9{,}996\times 60 = 599{,}76 \text{ (triệu đồng)}.$$
Vậy tổng số tiền anh Hùng phải trả là 599,76 triệu đồng.

c) Số tiền lãi phải trả.
$$L = T - V = 599{,}76 - 500 = 99{,}76 \text{ (triệu đồng)}.$$
Vậy số tiền lãi anh Hùng phải trả là 99,76 triệu đồng.

Đáp số