Giải Bài 2.17 trang 46 Chuyên đề Toán 12

Lời giải

Thiết lập các hàm số.

Gọi $x$ là số đơn vị hàng hoá bán ra ($x>0$).

Doanh thu:
$$R(x)=p\cdot x=(100-0{,}5x)x=100x-0{,}5x^2.$$

Lợi nhuận là doanh thu trừ chi phí:
$$P(x)=R(x)-C(x)=\left(100x-0{,}5x^2\right)-\left(40x+37{,}5\right)=-0{,}5x^2+60x-37{,}5.$$

a) Mức giá mang lại lợi nhuận lớn nhất.

Đạo hàm:
$$P'(x)=-x+60.$$

Cho $P'(x)=0\Rightarrow x=60.$

Vì $P''(x)=-1<0$ nên $x=60$ là điểm cực đại, đồng thời là giá trị làm $P(x)$ đạt giá trị lớn nhất trên $(0;+\infty)$.

Mức giá tương ứng:
$$p=100-0{,}5\cdot 60=100-30=70\ (\text{nghìn đồng}).$$

Khi đó lợi nhuận lớn nhất là:
$$P(60)=-0{,}5\cdot 60^2+60\cdot 60-37{,}5=-1800+3600-37{,}5=1762{,}5\ (\text{nghìn đồng}).$$

Vậy mức giá $70$ nghìn đồng cho mỗi đơn vị sẽ mang lại lợi nhuận lớn nhất.

b) Chi phí trung bình cho mỗi đơn vị khi lợi nhuận lớn nhất.

Khi lợi nhuận lớn nhất, số đơn vị bán ra là $x=60$.

Chi phí trung bình cho mỗi đơn vị:
$$\overline{C}=\frac{C(60)}{60}=\frac{40\cdot 60+37{,}5}{60}=\frac{2400+37{,}5}{60}=\frac{2437{,}5}{60}=40{,}625\ (\text{nghìn đồng}).$$

Vậy chi phí trung bình cho mỗi đơn vị khoảng $40{,}625$ nghìn đồng (tức $40\,625$ đồng).

Đáp số