Giải Bài 2.16 trang 46 Chuyên đề Toán 12

Lời giải

Gọi $h$ (m) là chiều cao của cột đèn, $h>0$.

Thiết lập hàm số. Nguồn sáng đặt tại đỉnh cột (tâm khu vực), điểm cần chiếu sáng nằm trên lối đi bộ, cách chân cột $20$ m. Xét tam giác vuông có cạnh đứng là cột đèn $h$, cạnh nằm ngang $20$ m và cạnh huyền là khoảng cách $s$ từ nguồn sáng tới lối đi:

$$s=\sqrt{h^{2}+20^{2}}=\sqrt{h^{2}+400}.$$

Góc $\theta$ là góc giữa tia sáng và mặt đất tại điểm trên lối đi, nên

$$\sin\theta=\frac{h}{s}=\frac{h}{\sqrt{h^{2}+400}}.$$

Thay vào công thức đã cho $I=\dfrac{\sin\theta}{s}$, ta được

$$I(h)=\frac{1}{s}\cdot\frac{h}{s}=\frac{h}{s^{2}}=\frac{h}{h^{2}+400},\quad h>0.$$

Khảo sát hàm số. Ta có

$$I'(h)=\frac{(h^{2}+400)-h\cdot 2h}{(h^{2}+400)^{2}}=\frac{400-h^{2}}{(h^{2}+400)^{2}}.$$

Vì mẫu số luôn dương nên $I'(h)=0\Leftrightarrow 400-h^{2}=0\Leftrightarrow h=20$ (do $h>0$).

Bảng biến thiên: trên khoảng $(0;20)$ có $I'(h)>0$, hàm số đồng biến; trên khoảng $(20;+\infty)$ có $I'(h)<0$, hàm số nghịch biến. Do đó hàm số $I(h)$ đạt giá trị lớn nhất tại $h=20$:

$$\max_{(0;+\infty)}I=I(20)=\frac{20}{20^{2}+400}=\frac{20}{800}=\frac{1}{40}=0{,}025.$$

Kiểm tra: khi $h=20$ thì $s=\sqrt{800}=20\sqrt{2}$, $\sin\theta=\dfrac{20}{20\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ (tức $\theta=45^{\circ}$), suy ra $I=\dfrac{\sqrt{2}/2}{20\sqrt{2}}=\dfrac{1}{40}$, khớp với kết quả trên.

Kết luận. Cột đèn cao $20$ m thì lối đi bộ được chiếu sáng mạnh nhất.

Đáp số