Giải Bài 2.15 trang 46 Chuyên đề Toán 12

Lời giải

Đặt bài toán bằng hàm số.

Gọi $x$ (mét, $x>0$) là khoảng cách từ người quan sát đến bức tường. Tính từ tầm mắt người quan sát:

- Mép dưới bức tranh ở độ cao $3$ m.
- Mép trên bức tranh ở độ cao $3+4=7$ m.

Gọi $\alpha$ là góc nâng từ tầm mắt lên mép trên và $\beta$ là góc nâng lên mép dưới. Khi đó góc nhìn bức tranh là
$$\theta=\alpha-\beta,\qquad \tan\alpha=\dfrac{7}{x},\quad \tan\beta=\dfrac{3}{x}.$$

Lập hàm theo $x$.

Áp dụng công thức trừ hai góc:
$$\tan\theta=\tan(\alpha-\beta)=\dfrac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta}=\dfrac{\dfrac{7}{x}-\dfrac{3}{x}}{1+\dfrac{7}{x}\cdot\dfrac{3}{x}}=\dfrac{\dfrac{4}{x}}{1+\dfrac{21}{x^{2}}}=\dfrac{4x}{x^{2}+21}.$$

Vì $\theta$ là góc nhọn nên $\theta$ lớn nhất khi $\tan\theta$ lớn nhất. Ta xét hàm
$$f(x)=\dfrac{4x}{x^{2}+21},\qquad x>0.$$

Khảo sát để tìm giá trị lớn nhất.

$$f'(x)=\dfrac{4\,(x^{2}+21)-4x\cdot 2x}{(x^{2}+21)^{2}}=\dfrac{4(21-x^{2})}{(x^{2}+21)^{2}}.$$

Với $x>0$: $f'(x)=0\Leftrightarrow x^{2}=21\Leftrightarrow x=\sqrt{21}$.

Lập bảng biến thiên: $f'(x)>0$ khi $0<x<\sqrt{21}$ và $f'(x)<0$ khi $x>\sqrt{21}$, nên $f$ đạt giá trị lớn nhất tại $x=\sqrt{21}$.

Kết luận.

Góc nhìn $\theta$ lớn nhất khi người quan sát đứng cách tường
$$x=\sqrt{21}\approx 4{,}58\ \text{(m)}.$$

(Khi đó $\tan\theta=\dfrac{4\sqrt{21}}{21+21}=\dfrac{2}{\sqrt{21}}\approx 0{,}436$, tức $\theta\approx 23^{\circ}35'$.)

Kiểm tra: tại $x=\sqrt{21}$ đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm ⇒ đây đúng là điểm cực đại (giá trị lớn nhất) của $f$; đáp số hợp lí về mặt thực tế (khoảng $4{,}58$ m).

Đáp số