Giải Bài 2.14 trang 45 Chuyên đề Toán 12

Lời giải

Phân tích. Với vật nặng cho trước thì $c$, $m$, $g$ là các hằng số dương. Góc kéo $\theta$ thay đổi trong khoảng $\left(0;\dfrac{\pi}{2}\right)$ (dây hợp với phương ngang một góc nhọn). Ta xét lực kéo như một hàm số theo biến $\theta$:
$$F(\theta)=\dfrac{cmg}{c\sin\theta+\cos\theta},\quad \theta\in\left(0;\dfrac{\pi}{2}\right).$$

Bước 1. Đưa về khảo sát mẫu số. Vì tử số $cmg$ là hằng số dương, còn mẫu số $c\sin\theta+\cos\theta>0$ trên $\left(0;\dfrac{\pi}{2}\right)$, nên $F(\theta)$ nhỏ nhất khi và chỉ khi mẫu số
$$g(\theta)=c\sin\theta+\cos\theta$$
đạt giá trị lớn nhất.

Bước 2. Tìm điểm tới hạn của $g(\theta)$. Ta có
$$g'(\theta)=c\cos\theta-\sin\theta.$$
Cho $g'(\theta)=0$:
$$c\cos\theta-\sin\theta=0\iff \sin\theta=c\cos\theta.$$
Trên $\left(0;\dfrac{\pi}{2}\right)$ ta có $\cos\theta>0$, chia hai vế cho $\cos\theta$ được
$$\tan\theta=c.$$
Vì $c>0$ nên phương trình này có đúng một nghiệm $\theta_0\in\left(0;\dfrac{\pi}{2}\right)$.

Bước 3. Kiểm tra đó là điểm cực đại của $g$. Ta có
$$g''(\theta)=-c\sin\theta-\cos\theta=-(c\sin\theta+\cos\theta).$$
Với mọi $\theta\in\left(0;\dfrac{\pi}{2}\right)$ thì $\sin\theta>0$, $\cos\theta>0$ nên $c\sin\theta+\cos\theta>0$, suy ra $g''(\theta)<0$. Do đó $g$ là hàm lồi lõm xuống, điểm dừng $\theta_0$ là điểm cực đại, đồng thời là điểm mà $g$ đạt giá trị lớn nhất trên khoảng đang xét (vì $g'(\theta)>0$ khi $\theta<\theta_0$ và $g'(\theta)<0$ khi $\theta>\theta_0$).

Bước 4. Kết luận. Vì $g(\theta)$ đạt giá trị lớn nhất tại $\theta_0$ với $\tan\theta_0=c$, nên tại đó $F(\theta)$ đạt giá trị nhỏ nhất. Vậy lực kéo $F$ nhỏ nhất khi $\tan\theta=c$. (đpcm)

Kiểm tra thêm (giá trị nhỏ nhất của $F$). Khi $\tan\theta=c$ thì $\sin\theta=\dfrac{c}{\sqrt{1+c^2}}$, $\cos\theta=\dfrac{1}{\sqrt{1+c^2}}$, nên
$$c\sin\theta+\cos\theta=\dfrac{c^2+1}{\sqrt{1+c^2}}=\sqrt{1+c^2},$$
do đó $F_{\min}=\dfrac{cmg}{\sqrt{1+c^2}}$ — một giá trị dương, phù hợp thực tế.

Đáp số