Giải Bài 2.13 trang 45 Chuyên đề Toán 12

Lời giải

Lập mô hình bài toán.

Gọi $x$ là số đại diện bán hàng được cử từ Hà Nội và $y$ là số đại diện bán hàng được cử từ Thành phố Hồ Chí Minh $(x,\,y \in \mathbb{N})$.

Giá vé khứ hồi từ Hà Nội là $2$ triệu đồng/người, từ Thành phố Hồ Chí Minh là $2{,}4$ triệu đồng/người. Do đó tổng chi phí vé máy bay (đơn vị: triệu đồng) là:
$$F(x;y) = 2x + 2{,}4y.$$

Ta cần tìm $x,\,y$ để $F$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Các điều kiện ràng buộc.

- Có $28$ đại diện ở Hà Nội và $22$ đại diện ở Thành phố Hồ Chí Minh nên: $0 \le x \le 28$ và $0 \le y \le 22.$
- Tổng số người tham dự ít nhất là $40$: $x + y \ge 40.$
- Ít nhất $12$ người từ Hà Nội: $x \ge 12.$
- Ít nhất $16$ người từ Thành phố Hồ Chí Minh: $y \ge 16.$

Vậy $(x;y)$ là nghiệm của hệ bất phương trình:
$$\begin{cases} x + y \ge 40 \\ 12 \le x \le 28 \\ 16 \le y \le 22 \end{cases}$$

Miền nghiệm của hệ là một miền đa giác (miền $D$). Bài toán trở thành: tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $F(x;y) = 2x + 2{,}4y$ trên miền $D$.

Xác định các đỉnh của miền $D$.

Giao các đường thẳng ràng buộc, ta tìm được các đỉnh của miền đa giác nghiệm:
$$A(24;16),\quad B(28;16),\quad C(28;22),\quad E(18;22).$$

(Tại đỉnh $A$: giao của $y = 16$ với $x + y = 40$; tại $E$: giao của $y = 22$ với $x + y = 40$.)

Tính giá trị của $F$ tại các đỉnh.

- $F(A) = F(24;16) = 2\cdot 24 + 2{,}4\cdot 16 = 48 + 38{,}4 = 86{,}4.$
- $F(B) = F(28;16) = 2\cdot 28 + 2{,}4\cdot 16 = 56 + 38{,}4 = 94{,}4.$
- $F(C) = F(28;22) = 2\cdot 28 + 2{,}4\cdot 22 = 56 + 52{,}8 = 108{,}8.$
- $F(E) = F(18;22) = 2\cdot 18 + 2{,}4\cdot 22 = 36 + 52{,}8 = 88{,}8.$

Vì $F(x;y)$ là biểu thức bậc nhất nên giá trị nhỏ nhất của $F$ trên miền $D$ đạt được tại một trong các đỉnh. So sánh bốn giá trị trên, ta được:
$$\min_{D} F = 86{,}4 \text{ (triệu đồng)},\quad \text{đạt tại } A(24;16).$$

Kiểm tra lại. Với $x = 24,\ y = 16$: $x + y = 40 \ge 40$ ✓; $12 \le 24 \le 28$ ✓; $16 \le 16 \le 22$ ✓. Các ràng buộc đều thỏa mãn. Ngoài ra, do vé Hà Nội rẻ hơn nên hợp lí khi cử tối đa người từ Hà Nội và tối thiểu người từ Thành phố Hồ Chí Minh; tổng số người cũng đúng bằng mức tối thiểu $40$ nên chi phí nhỏ nhất.

Kết luận. Cần cử $24$ đại diện bán hàng ở Hà Nội và $16$ đại diện bán hàng ở Thành phố Hồ Chí Minh đến dự cuộc họp thì tổng chi phí vé máy bay là nhỏ nhất, bằng $86{,}4$ triệu đồng.

Đáp số