Giải Bài 2.12 trang 45 Chuyên đề Toán 12

Lời giải

Bước 1. Gọi ẩn và lập mô hình.

Gọi $x$ là số đơn vị sản phẩm thứ nhất, $y$ là số đơn vị sản phẩm thứ hai cần sản xuất $(x\ge 0,\ y\ge 0)$.

Thời gian dùng mỗi máy:

- Máy I: mỗi sản phẩm loại 1 cần $2$ giờ, loại 2 cần $1$ giờ, tối đa $70$ giờ: $2x+y\le 70$.
- Máy II: mỗi loại cần $1$ giờ, tối đa $40$ giờ: $x+y\le 40$.
- Máy III: loại 1 cần $1$ giờ, loại 2 cần $3$ giờ, tối đa $90$ giờ: $x+3y\le 90$.

Ta được hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn:
$$\begin{cases} 2x+y\le 70\\ x+y\le 40\\ x+3y\le 90\\ x\ge 0,\ y\ge 0 \end{cases}$$

Lợi nhuận (nghìn đồng) cần làm lớn nhất:
$$F(x;y)=400x+600y.$$

Bước 2. Xác định miền nghiệm (miền đa giác).

Miền nghiệm của hệ là một đa giác lồi. Tìm các đỉnh bằng cách giao các đường biên:

- Giao $x=0$ với $x+3y=90$: đỉnh $O_1(0;30)$ (kiểm tra $2\cdot0+30=30\le70$, $0+30=30\le40$ — thỏa).
- Giao $x+y=40$ với $x+3y=90$: trừ hai vế được $2y=50\Rightarrow y=25,\ x=15$, đỉnh $A(15;25)$ (kiểm tra $2\cdot15+25=55\le70$ — thỏa).
- Giao $2x+y=70$ với $x+y=40$: trừ được $x=30,\ y=10$, đỉnh $B(30;10)$ (kiểm tra $30+3\cdot10=60\le90$ — thỏa).
- Giao $2x+y=70$ với $y=0$: đỉnh $C(35;0)$ (kiểm tra $35\le40$, $35\le90$ — thỏa).
- Gốc $O(0;0)$.

Vậy các đỉnh của miền là: $O(0;0),\ C(35;0),\ B(30;10),\ A(15;25),\ O_1(0;30)$.

Bước 3. Tính giá trị $F$ tại các đỉnh.

$F$ đạt giá trị lớn nhất tại một trong các đỉnh của miền đa giác:

| Đỉnh | $F=400x+600y$ (nghìn đồng) |
|---|---|
| $O(0;0)$ | $0$ |
| $C(35;0)$ | $400\cdot35=14\,000$ |
| $B(30;10)$ | $400\cdot30+600\cdot10=18\,000$ |
| $A(15;25)$ | $400\cdot15+600\cdot25=6\,000+15\,000=21\,000$ |
| $O_1(0;30)$ | $600\cdot30=18\,000$ |

Bước 4. Kết luận.

Giá trị lớn nhất là $F=21\,000$ (nghìn đồng) đạt tại $A(15;25)$.

Vậy nhà máy nên sản xuất $15$ đơn vị sản phẩm thứ nhất và $25$ đơn vị sản phẩm thứ hai để lợi nhuận lớn nhất, bằng $21\,000$ nghìn đồng $=21\,000\,000$ đồng $=21$ triệu đồng.

Kiểm tra lại tại $A(15;25)$: Máy I dùng $2\cdot15+25=55\le70$; Máy II dùng $15+25=40\le40$ (dùng hết); Máy III dùng $15+3\cdot25=90\le90$ (dùng hết). Tất cả ràng buộc đều thỏa mãn.

Đáp số