Giải Bài 2.11 trang 45 Chuyên đề Toán 12

Lời giải

a) Lập hệ bất phương trình

Đổi đơn vị khối lượng cà phê ra gam: $75$ kg $=75\,000$ g cà phê Colombia; $120$ kg $=120\,000$ g cà phê thương hiệu.

Gọi $x$ là số gói tiêu chuẩn, $y$ là số gói cao cấp $(x\ge 0,\ y\ge 0)$.

- Cà phê Colombia nguyên chất dùng để pha: mỗi gói tiêu chuẩn cần $250$ g, mỗi gói cao cấp cần $500$ g, không vượt quá $75\,000$ g:
$$250x+500y\le 75\,000 \iff x+2y\le 300.$$
- Cà phê thương hiệu: mỗi gói tiêu chuẩn cần $750$ g, mỗi gói cao cấp cần $500$ g, không vượt quá $120\,000$ g:
$$750x+500y\le 120\,000 \iff 3x+2y\le 480.$$

Vậy hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là:
$$\begin{cases} x+2y\le 300\\ 3x+2y\le 480\\ x\ge 0\\ y\ge 0\end{cases}$$

b) Biểu diễn miền nghiệm và tìm các đỉnh

Vẽ trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ các đường thẳng:
- $d_1: x+2y=300$ (qua $(300;0)$ và $(0;150)$);
- $d_2: 3x+2y=480$ (qua $(160;0)$ và $(0;240)$);
- $Ox: y=0$ và $Oy: x=0$.

Miền nghiệm của hệ là phần mặt phẳng chứa gốc tọa độ $O$, được giới hạn bởi các đường thẳng trên (kể cả bờ). Đó là một miền đa giác (miền tứ giác) với các đỉnh:

- $O(0;0)$;
- $A(160;0)$ (giao của $d_2$ với trục $Ox$);
- Giao điểm $B$ của $d_1$ và $d_2$: giải hệ
$$\begin{cases} x+2y=300\\ 3x+2y=480\end{cases}$$
trừ vế theo vế: $2x=180\Rightarrow x=90$, suy ra $2y=210\Rightarrow y=105$. Vậy $B(90;105)$;
- $C(0;150)$ (giao của $d_1$ với trục $Oy$).

Vậy miền nghiệm là tứ giác $OABC$ với các đỉnh $O(0;0),\ A(160;0),\ B(90;105),\ C(0;150)$.

c) Tìm phương án cho lợi nhuận lớn nhất

Lợi nhuận (đơn vị: nghìn đồng): $F(x;y)=30x+40y$.

Vì $F$ là biểu thức bậc nhất nên giá trị lớn nhất của $F$ trên miền đa giác $OABC$ đạt tại một trong các đỉnh. Ta tính $F$ tại các đỉnh:

- $F(O)=30\cdot 0+40\cdot 0=0$;
- $F(A)=30\cdot 160+40\cdot 0=4\,800$;
- $F(B)=30\cdot 90+40\cdot 105=2\,700+4\,200=6\,900$;
- $F(C)=30\cdot 0+40\cdot 150=6\,000$.

So sánh, giá trị lớn nhất là $F(B)=6\,900$ (nghìn đồng) tại $B(90;105)$.

Kết luận: Cần chuẩn bị $90$ gói cà phê tiêu chuẩn và $105$ gói cà phê cao cấp thì lợi nhuận thu được lớn nhất, bằng $6\,900$ nghìn đồng $=6,9$ triệu đồng.

*Kiểm tra:* Với $x=90,\ y=105$: cà phê Colombia dùng $250\cdot 90+500\cdot 105=22\,500+52\,500=75\,000$ g $=75$ kg (đúng bằng số có); cà phê thương hiệu dùng $750\cdot 90+500\cdot 105=67\,500+52\,500=120\,000$ g $=120$ kg (đúng bằng số có). Cả hai ràng buộc đều thỏa mãn (dùng hết nguyên liệu).

Đáp số