Giải Bài 2.10 trang 44 Chuyên đề Toán 12

Lời giải

a) Lập công thức hàm lợi nhuận $P(x)$.

Hàm doanh thu bằng số đơn vị hàng hoá nhân với giá bán một đơn vị (chính là hàm cầu):
$$R(x) = x\cdot p(x) = x(1\,500 - 3x) = 1\,500x - 3x^2 \ (\text{nghìn đồng}).$$

Hàm lợi nhuận bằng hiệu của hàm doanh thu và hàm chi phí:
$$P(x) = R(x) - C(x) = \left(1\,500x - 3x^2\right) - \left(18\,000 + 500x - 1{,}6x^2 + 0{,}004x^3\right).$$

Rút gọn:
$$P(x) = -0{,}004x^3 - 1{,}4x^2 + 1\,000x - 18\,000 \ (\text{nghìn đồng}), \quad x \ge 0.$$

b) Tìm mức sản xuất $x$ để lợi nhuận lớn nhất.

Đạo hàm:
$$P'(x) = -0{,}012x^2 - 2{,}8x + 1\,000.$$

Cho $P'(x) = 0 \Leftrightarrow 0{,}012x^2 + 2{,}8x - 1\,000 = 0.$

Biệt thức: $\Delta = 2{,}8^2 + 4\cdot 0{,}012\cdot 1\,000 = 7{,}84 + 48 = 55{,}84$, nên $\sqrt{\Delta} \approx 7{,}4726.$

$$x = \frac{-2{,}8 + \sqrt{55{,}84}}{2\cdot 0{,}012} \approx \frac{4{,}6726}{0{,}024} \approx 194{,}69 \quad (\text{loại nghiệm âm}).$$

Vì $P'(x)$ là tam thức bậc hai có hệ số $x^2$ âm nên $P'(x) > 0$ trên $\left(0;\,194{,}69\right)$ và $P'(x) < 0$ khi $x > 194{,}69$. Do đó $P(x)$ đạt giá trị lớn nhất tại $x \approx 194{,}69.$

Vì $x$ là số đơn vị hàng hoá (số nguyên) nên chọn $x \approx 195$ đơn vị.

Kiểm tra: $P''(x) = -0{,}024x - 2{,}8 < 0$ tại $x \approx 194{,}69$, khẳng định đây là điểm cực đại. Lợi nhuận lớn nhất khi đó $P(195) \approx 46\,171$ nghìn đồng.

Vậy để lợi nhuận lớn nhất, mức sản xuất là khoảng $195$ đơn vị hàng hoá.

Đáp số