Giải Vận dụng 2 trang 12 Chuyên đề Toán 12

Lời giải

Nhắc lại luật chơi (tình huống mở đầu): Ở vòng 1, Minh chọn một loại câu hỏi để trả lời. Nếu trả lời sai thì dừng cuộc chơi (được $0$ điểm); nếu trả lời đúng thì được điểm của câu đó và sang vòng 2 trả lời câu hỏi thuộc loại còn lại (đúng hay sai đều kết thúc). Trong đó: câu loại I trả lời đúng được $20$ điểm với xác suất đúng $0{,}8$; câu loại II trả lời đúng được $80$ điểm với xác suất đúng $0{,}6$; trả lời sai được $0$ điểm.

a) Vòng 1 chọn câu hỏi loại II.

Gọi $Y$ là số điểm Minh nhận được. Khi đó $Y$ nhận các giá trị $0;\ 80;\ 100$.

- $Y=0$: sai ngay ở vòng 1 (loại II), $P(Y=0)=1-0{,}6=0{,}4$.
- $Y=80$: đúng vòng 1 (được $80$ điểm) nhưng sai vòng 2 (loại I), $P(Y=80)=0{,}6\cdot(1-0{,}8)=0{,}12$.
- $Y=100$: đúng cả hai vòng (được $80+20=100$ điểm), $P(Y=100)=0{,}6\cdot0{,}8=0{,}48$.

Bảng phân bố xác suất của $Y$:

| $Y$ | $0$ | $80$ | $100$ |
|---|---|---|---|
| $P$ | $0{,}4$ | $0{,}12$ | $0{,}48$ |

(Kiểm tra: $0{,}4+0{,}12+0{,}48=1$.)

Số điểm trung bình chính là kỳ vọng của $Y$:
$$E(Y)=0\cdot0{,}4+80\cdot0{,}12+100\cdot0{,}48=9{,}6+48=57{,}6.$$

Vậy trung bình Minh nhận được $57{,}6$ điểm.

b) Ở vòng 1 Minh nên chọn loại câu hỏi nào?

Xét trường hợp vòng 1 chọn loại I. Gọi $X$ là số điểm nhận được, $X$ nhận các giá trị $0;\ 20;\ 100$ với:
$$P(X=0)=1-0{,}8=0{,}2,\quad P(X=20)=0{,}8\cdot(1-0{,}6)=0{,}32,\quad P(X=100)=0{,}8\cdot0{,}6=0{,}48.$$

Do đó:
$$E(X)=0\cdot0{,}2+20\cdot0{,}32+100\cdot0{,}48=6{,}4+48=54{,}4.$$

Vì $E(Y)=57{,}6>E(X)=54{,}4$ nên trung bình Minh được nhiều điểm hơn khi vòng 1 chọn câu hỏi loại II.

Vậy ở vòng 1 Minh nên chọn câu hỏi loại II.

Đáp số