Giải Bài 2.9 trang 44 Chuyên đề Toán 12

Lời giải

Thiết lập bài toán.

Đổi dung tích: $5\,l = 5\ \text{dm}^3 = 0{,}005\ \text{m}^3$.

Gọi $r$ (m) là bán kính đáy và $h$ (m) là chiều cao của thùng sơn hình trụ ($r>0,\ h>0$).

Thùng gồm mặt xung quanh và hai mặt đáy (đáy dưới và nắp trên).

a) Lập hàm chi phí một thùng.

Thể tích thùng: $\pi r^2 h = 0{,}005 \Rightarrow h = \dfrac{0{,}005}{\pi r^2}$.

Diện tích xung quanh: $S_{xq}=2\pi r h$, suy ra
$$2\pi r h = 2\pi r\cdot\dfrac{0{,}005}{\pi r^2}=\dfrac{0{,}01}{r}\ (\text{m}^2).$$

Diện tích hai đáy: $2\pi r^2\ (\text{m}^2)$.

Chi phí sản xuất một thùng (đơn vị: nghìn đồng), với giá xung quanh $100$ và giá đáy $120$:
$$T(r)=100\cdot\dfrac{0{,}01}{r}+120\cdot 2\pi r^2=\dfrac{1}{r}+240\pi r^2\quad(r>0).$$

b) Tìm chi phí nhỏ nhất một thùng.

Đạo hàm:
$$T'(r)=-\dfrac{1}{r^2}+480\pi r=\dfrac{480\pi r^3-1}{r^2}.$$

$T'(r)=0 \Leftrightarrow r^3=\dfrac{1}{480\pi}\Leftrightarrow r=\dfrac{1}{\sqrt[3]{480\pi}}\approx 0{,}0872\ (\text{m}).$

Lập bảng biến thiên: $T'(r)<0$ khi $0<r<\dfrac{1}{\sqrt[3]{480\pi}}$ và $T'(r)>0$ khi $r>\dfrac{1}{\sqrt[3]{480\pi}}$, nên $T$ đạt giá trị nhỏ nhất tại $r=\dfrac{1}{\sqrt[3]{480\pi}}$.

Tại đó $480\pi r^3=1\Rightarrow 240\pi r^2=\dfrac{1}{2r}$, do đó
$$T_{\min}=\dfrac{1}{r}+\dfrac{1}{2r}=\dfrac{3}{2r}=\dfrac{3}{2}\sqrt[3]{480\pi}\approx 17{,}201\ (\text{nghìn đồng})\approx 17\,201\ \text{đồng}.$$

c) Số thùng tối đa.

Để sản xuất được nhiều thùng nhất, mỗi thùng phải có chi phí nhỏ nhất $T_{\min}\approx 17\,201$ đồng. Với số vốn $1$ tỉ $=1\,000\,000\,000$ đồng, số thùng $n$ thỏa mãn:
$$n\cdot T_{\min}\le 1\,000\,000\,000 \Rightarrow n\le \dfrac{1\,000\,000\,000}{17\,201}\approx 58\,135{,}98.$$

Vì $n$ nguyên nên $n\le 58\,135$.

Kiểm tra: $58\,135\times 17\,201\approx 999\,983\,000<10^9$ (còn dư, hợp lệ); $58\,136\times 17\,201\approx 1\,000\,000\,254>10^9$ (vượt vốn). Vậy sản xuất được tối đa $58\,135$ thùng.

Đáp số