Giải Bài 2.8 trang 44 Chuyên đề Toán 12

Lời giải

Thiết lập hàm doanh thu.

Gọi $x$ là số hành khách trên chuyến xe, với điều kiện $0 \le x \le 60$ (và $x$ nguyên).

Giá vé mỗi hành khách là $50\,000\left(3 - \dfrac{x}{40}\right)^2$ (đồng), nên doanh thu của chuyến xe là:
$$R(x) = x \cdot 50\,000\left(3 - \dfrac{x}{40}\right)^2 = 50\,000\, x\left(3 - \dfrac{x}{40}\right)^2, \quad x \in [0; 60].$$

Tìm giá trị lớn nhất bằng đạo hàm.

Đạo hàm (dùng quy tắc tích và đạo hàm hàm hợp):
$$R'(x) = 50\,000\left[\left(3 - \dfrac{x}{40}\right)^2 + x\cdot 2\left(3 - \dfrac{x}{40}\right)\left(-\dfrac{1}{40}\right)\right].$$

Đặt nhân tử chung $\left(3 - \dfrac{x}{40}\right)$:
$$R'(x) = 50\,000\left(3 - \dfrac{x}{40}\right)\left[\left(3 - \dfrac{x}{40}\right) - \dfrac{x}{20}\right] = 50\,000\left(3 - \dfrac{x}{40}\right)\left(3 - \dfrac{3x}{40}\right).$$

Giải $R'(x) = 0$:
$$3 - \dfrac{x}{40} = 0 \Rightarrow x = 120 \ (\text{loại vì } > 60), \qquad 3 - \dfrac{3x}{40} = 0 \Rightarrow x = 40 \ (\text{nhận}).$$

Lập bảng biến thiên / xét dấu trên $[0;60]$.

Với $x \in [0;60)$ thì $3 - \dfrac{x}{40} > 0$, nên dấu của $R'(x)$ cùng dấu với $\left(3 - \dfrac{3x}{40}\right)$:
- Khi $0 \le x < 40$: $R'(x) > 0$, hàm đồng biến.
- Khi $40 < x \le 60$: $R'(x) < 0$, hàm nghịch biến.

Vậy $R(x)$ đạt giá trị lớn nhất tại $x = 40$.

Tính doanh thu lớn nhất.
$$R(40) = 50\,000 \cdot 40 \cdot \left(3 - \dfrac{40}{40}\right)^2 = 50\,000 \cdot 40 \cdot 2^2 = 50\,000 \cdot 40 \cdot 4 = 8\,000\,000 \ (\text{đồng}).$$

Kiểm tra lại (so với hai đầu mút):
- $R(0) = 0$;
- $R(60) = 50\,000 \cdot 60 \cdot \left(3 - \dfrac{60}{40}\right)^2 = 50\,000 \cdot 60 \cdot (1{,}5)^2 = 50\,000 \cdot 60 \cdot 2{,}25 = 6\,750\,000$ (đồng).

Cả hai đều nhỏ hơn $8\,000\,000$ đồng, khẳng định giá trị lớn nhất đạt tại $x = 40$.

Kết luận. Xe có doanh thu cao nhất khi chở $40$ hành khách, và doanh thu lớn nhất là $8\,000\,000$ đồng.

Đáp số