Giải Bài 2.7 trang 43 Chuyên đề Toán 12

Lời giải

Thiết lập biến số và hàm chi phí.

Đặt $BS = x$ (km), với $0 \le x \le 4$. Khi đó:

- Đoạn đặt ngầm dưới đất: $SA = 4 - x$ (km), chi phí $3\,000$ USD/km.
- Đoạn đặt ngầm dưới nước: tam giác $CBS$ vuông tại $B$ nên
$$SC = \sqrt{BS^2 + BC^2} = \sqrt{x^2 + 1}\ \text{(km)},$$
chi phí $5\,000$ USD/km.

Tổng chi phí (đơn vị USD) là hàm số
$$f(x) = 3\,000\,(4 - x) + 5\,000\,\sqrt{x^2 + 1}, \qquad x \in [0; 4].$$

Tìm giá trị nhỏ nhất bằng đạo hàm.

Ta có
$$f'(x) = -3\,000 + 5\,000\cdot\frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}.$$

Cho $f'(x) = 0$:
$$5\,000\cdot\frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} = 3\,000 \;\Leftrightarrow\; 5x = 3\sqrt{x^2 + 1}\;\;(x>0).$$

Bình phương hai vế:
$$25x^2 = 9(x^2 + 1) \;\Leftrightarrow\; 16x^2 = 9 \;\Leftrightarrow\; x^2 = \frac{9}{16} \;\Leftrightarrow\; x = \frac{3}{4}\ \text{(vì } x>0).$$

Lập bảng biến thiên / so sánh giá trị.

Với $x < \dfrac{3}{4}$ thì $f'(x) < 0$; với $x > \dfrac{3}{4}$ thì $f'(x) > 0$, nên $x = \dfrac{3}{4}$ là điểm cực tiểu và là điểm đạt giá trị nhỏ nhất trên $[0; 4]$.

Giá trị nhỏ nhất:
$$f\!\left(\tfrac{3}{4}\right) = 3\,000\left(4 - \tfrac{3}{4}\right) + 5\,000\sqrt{\tfrac{9}{16} + 1} = 3\,000\cdot\tfrac{13}{4} + 5\,000\cdot\tfrac{5}{4} = 9\,750 + 6\,250 = 16\,000\ \text{(USD)}.$$

So sánh với hai đầu mút để chắc chắn: $f(0) = 17\,000$ USD, $f(4) = 5\,000\sqrt{17} \approx 20\,616$ USD, đều lớn hơn $16\,000$ USD.

Kết luận. Điểm $S$ phải đặt sao cho $BS = \dfrac{3}{4}\,\text{km} = 0{,}75\,\text{km}$ (tức cách $A$ một đoạn $SA = 3{,}25\,\text{km}$). Khi đó chi phí kéo đường dây điện nhỏ nhất là $16\,000$ USD.

Đáp số