Giải Bài 2.6 trang 43 Chuyên đề Toán 12

Lời giải

Thiết lập bài toán.

Gọi chiều rộng của hình chữ nhật là $2x$ (m) với $x>0$. Vì đường kính nửa hình tròn phía trên bằng chiều rộng của hình chữ nhật nên bán kính nửa hình tròn là $x$ (m). Gọi chiều cao của hình chữ nhật là $y$ (m), $y>0$.

Điều kiện về mép ngoài (chu vi phần sát tường).

Mép ngoài của cửa sổ gồm: đáy dưới hình chữ nhật ($2x$), hai cạnh bên ($2y$) và nửa đường tròn phía trên (cung dài $\pi x$). Do đó:
$$2x + 2y + \pi x = 10.$$
Suy ra:
$$y = \frac{10 - 2x - \pi x}{2} = \frac{10 - (2+\pi)x}{2}.$$
Điều kiện $y>0$ cho $0 < x < \dfrac{10}{2+\pi}$.

Hàm diện tích.

Diện tích cửa sổ bằng diện tích hình chữ nhật cộng diện tích nửa hình tròn:
$$S = 2x\cdot y + \frac{1}{2}\pi x^2.$$
Thay $y$ vào:
$$S(x) = 2x\cdot\frac{10-(2+\pi)x}{2} + \frac{1}{2}\pi x^2 = 10x - (2+\pi)x^2 + \frac{\pi}{2}x^2.$$
Rút gọn:
$$S(x) = 10x - 2x^2 - \frac{\pi}{2}x^2 = 10x - \left(2+\frac{\pi}{2}\right)x^2.$$

Tìm giá trị lớn nhất.

Đạo hàm:
$$S'(x) = 10 - \left(4+\pi\right)x.$$
$$S'(x) = 0 \iff x = \frac{10}{4+\pi}.$$
Vì $S''(x) = -(4+\pi) < 0$ nên $S$ đạt giá trị lớn nhất tại $x = \dfrac{10}{4+\pi}$.

Tính các kích thước.

- Bán kính: $x = \dfrac{10}{4+\pi} \approx 1{,}4003$ (m).
- Chiều rộng hình chữ nhật:
$$2x = \frac{20}{4+\pi} \approx 2{,}80 \text{ (m)}.$$
- Chiều cao hình chữ nhật:
$$y = \frac{10-(2+\pi)x}{2} = \frac{1}{2}\left(10 - (2+\pi)\cdot\frac{10}{4+\pi}\right) = \frac{1}{2}\cdot\frac{10\cdot 2}{4+\pi} = \frac{10}{4+\pi} \approx 1{,}40 \text{ (m)}.$$

(Nhận xét: khi diện tích lớn nhất thì chiều cao hình chữ nhật đúng bằng bán kính nửa hình tròn, tức $y = x$.)

Kết luận. Để cửa sổ có diện tích lớn nhất, hình chữ nhật có chiều rộng $\dfrac{20}{4+\pi} \approx 2{,}80$ m và chiều cao $\dfrac{10}{4+\pi} \approx 1{,}40$ m.

Đáp số