Giải Luyện tập 4 trang 43 Chuyên đề Toán 12

Lời giải

Bước 1. Lập hàm doanh thu.
Với mức sản xuất $x$ đơn vị, giá bán mỗi đơn vị là $p(x)=1\,700-7x$ nên doanh thu là
$$R(x)=x\cdot p(x)=x(1\,700-7x)=1\,700x-7x^2.$$

Bước 2. Lập hàm lợi nhuận.
Lợi nhuận bằng doanh thu trừ chi phí:
$$P(x)=R(x)-C(x)=1\,700x-7x^2-\left(16\,000+500x-1{,}64x^2+0{,}004x^3\right).$$
Rút gọn:
$$P(x)=-0{,}004x^3-5{,}36x^2+1\,200x-16\,000,\qquad x>0.$$

Bước 3. Tìm điểm tới hạn.
$$P'(x)=-0{,}012x^2-10{,}72x+1\,200.$$
$$P'(x)=0\ \Leftrightarrow\ 0{,}012x^2+10{,}72x-1\,200=0.$$
Giải phương trình bậc hai (lấy nghiệm dương):
$$x=\frac{-10{,}72+\sqrt{10{,}72^2+4\cdot 0{,}012\cdot 1\,200}}{2\cdot 0{,}012}=\frac{-10{,}72+\sqrt{172{,}5184}}{0{,}024}\approx 100{,}6.$$

Bước 4. Khẳng định cực đại.
$$P''(x)=-0{,}024x-10{,}72<0\ \ \forall x>0,$$
nên $P$ lồi xuống (nghịch biến của $P'$): $P'$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ khi qua $x\approx100{,}6$. Do đó $P$ đạt giá trị lớn nhất trên $(0;+\infty)$ tại $x\approx100{,}6$.

Bước 5. Vì $x$ là số đơn vị hàng hoá (số nguyên), so sánh hai giá trị nguyên gần $100{,}6$:
$$P(100)=-0{,}004\cdot10^6-5{,}36\cdot10^4+1\,200\cdot100-16\,000=46\,400,$$
$$P(101)=-0{,}004\cdot1\,030\,301-5{,}36\cdot10\,201+1\,200\cdot101-16\,000\approx46\,401{,}4.$$
Vì $P(101)\approx46\,401{,}4>P(100)=46\,400$, nên chọn $x=101$.

Kiểm tra lại: $P(102)\approx46\,389{,}7<P(101)$, xác nhận lợi nhuận lớn nhất đạt tại $x=101$ (điểm tối ưu liên tục $x\approx100{,}6$).

Kết luận: Nên sản xuất khoảng $x\approx100{,}6$, tức $101$ đơn vị hàng hoá thì lợi nhuận lớn nhất, khoảng $46\,401{,}4$ (đơn vị tiền).

Đáp số