Giải Luyện tập 3 trang 41 Chuyên đề Toán 12

Lời giải

Gọi ẩn và điều kiện.

Gọi $x$ (triệu đồng, $0 \le x \le 4$) là số tiền giảm giá so với giá bán ban đầu $31$ triệu đồng/chiếc.

(Ta cần $x \le 4$ để giá bán $31 - x$ vẫn không thấp hơn chi phí mua vào $27$ triệu đồng, tức lợi nhuận mỗi chiếc không âm.)

- Giá bán mới mỗi chiếc là: $31 - x$ (triệu đồng).
- Cứ giảm $1$ triệu thì bán thêm $200$ chiếc, nên số xe bán ra trong một năm là: $600 + 200x$ (chiếc).
- Lợi nhuận thu được trên mỗi chiếc là: $(31 - x) - 27 = 4 - x$ (triệu đồng).

Lập hàm lợi nhuận.

Lợi nhuận cả năm (triệu đồng) là:
$$L(x) = (4 - x)(600 + 200x) = -200x^2 + 200x + 2400, \quad 0 \le x \le 4.$$

Khảo sát tìm giá trị lớn nhất.

Đạo hàm:
$$L'(x) = -400x + 200.$$
$$L'(x) = 0 \iff x = \dfrac{1}{2}.$$

Vì $L'(x) > 0$ trên $\left(0; \tfrac{1}{2}\right)$ và $L'(x) < 0$ trên $\left(\tfrac{1}{2}; 4\right)$ nên $L(x)$ đạt giá trị lớn nhất tại $x = \dfrac{1}{2}$.

Khi đó:
$$L\left(\tfrac{1}{2}\right) = -200\cdot\tfrac{1}{4} + 200\cdot\tfrac{1}{2} + 2400 = 2450 \text{ (triệu đồng)}.$$

Kết luận.

Giá bán mới là $31 - \dfrac{1}{2} = 30{,}5$ triệu đồng/chiếc. Khi đó doanh nghiệp bán được $600 + 200\cdot\tfrac{1}{2} = 700$ chiếc/năm và đạt lợi nhuận cao nhất là $2450$ triệu đồng ($= 2{,}45$ tỉ đồng).

Đáp số