Giải Luyện tập 2 trang 39 Chuyên đề Toán 12

Lời giải

Thiết lập hàm tổng thời gian $T(x)$.

Chọn hệ trục với mặt phân cách không khí–nước nằm ngang. Gọi $P$ là điểm tia sáng gặp mặt nước, đặt $x$ là khoảng cách ngang từ hình chiếu của $A$ xuống mặt nước đến $P$ (với $0 \le x \le c$).

Theo hình vẽ:

- Trong không khí, $A$ ở độ cao $a$ nên $AP = \sqrt{a^2 + x^2}$, đi với vận tốc $v_{kk}$.
- Trong nước, $B$ ở độ sâu $b$ và cách $P$ theo phương ngang một khoảng $c - x$ nên $PB = \sqrt{b^2 + (c-x)^2}$, đi với vận tốc $v_n$.

Tổng thời gian tia sáng đi theo đường gấp khúc $APB$ là

$$T(x) = \dfrac{AP}{v_{kk}} + \dfrac{PB}{v_n} = \dfrac{\sqrt{a^2 + x^2}}{v_{kk}} + \dfrac{\sqrt{b^2 + (c-x)^2}}{v_n}, \quad 0 \le x \le c.$$

Tính đạo hàm.

$$T'(x) = \dfrac{x}{v_{kk}\sqrt{a^2 + x^2}} - \dfrac{c - x}{v_n\sqrt{b^2 + (c-x)^2}}.$$

Tìm cực trị.

Cho $T'(x) = 0$:

$$\dfrac{x}{v_{kk}\sqrt{a^2 + x^2}} = \dfrac{c - x}{v_n\sqrt{b^2 + (c-x)^2}}. \quad (*)$$

Nhận xét về dấu của $T'(x)$: khi $x$ tăng từ $0$ đến $c$ thì số hạng $\dfrac{x}{v_{kk}\sqrt{a^2+x^2}}$ tăng (từ $0$ lên giá trị dương), còn số hạng bị trừ $\dfrac{c-x}{v_n\sqrt{b^2+(c-x)^2}}$ giảm (từ giá trị dương về $0$). Do đó $T'(x)$ liên tục và đồng biến trên $[0; c]$, với $T'(0) < 0$ và $T'(c) > 0$. Vậy phương trình $(*)$ có đúng một nghiệm $x_0$, và tại đó $T'(x)$ đổi dấu từ âm sang dương, nên $T(x)$ đạt giá trị nhỏ nhất tại $x_0$.

Chuyển sang góc tới và góc khúc xạ.

Pháp tuyến tại $P$ là đường thẳng đứng. Xét các tam giác vuông:

- Góc tới $i$ (giữa $AP$ và pháp tuyến) có $\sin i = \dfrac{x}{\sqrt{a^2 + x^2}}$.
- Góc khúc xạ $r$ (giữa $PB$ và pháp tuyến) có $\sin r = \dfrac{c - x}{\sqrt{b^2 + (c-x)^2}}$.

Thay vào $(*)$:

$$\dfrac{\sin i}{v_{kk}} = \dfrac{\sin r}{v_n} \;\Longleftrightarrow\; \boxed{\dfrac{\sin i}{\sin r} = \dfrac{v_{kk}}{v_n}}.$$

Vậy khi tổng thời gian $T(x)$ nhỏ nhất thì góc tới và góc khúc xạ thoả mãn Định luật Snell (đpcm).

Đáp số