Giải Luyện tập 1 trang 38 Chuyên đề Toán 12

Lời giải

Quỹ đạo của vật là parabol

$$y=\dfrac{-g}{2v_0^2\cos^2\alpha}\,x^2+x\tan\alpha,\qquad v_0=9\text{ m/s}.$$

Vì chuyển động theo phương ngang là đều với vận tốc $v_0\cos\alpha$ nên khoảng cách theo phương ngang và thời gian bay liên hệ với nhau bởi $x=v_0\cos\alpha\cdot t$.

a) Độ cao lớn nhất và thời điểm đạt được (lấy $g=9,8$ m/s$^2$)

Xét hàm số độ cao $y$ theo $x$ (với $x\ge 0$). Ta có

$$y'=\dfrac{-g}{v_0^2\cos^2\alpha}\,x+\tan\alpha .$$

Cho $y'=0$:

$$\dfrac{-g}{v_0^2\cos^2\alpha}\,x+\tan\alpha=0\ \Leftrightarrow\ x=\dfrac{v_0^2\cos^2\alpha\tan\alpha}{g}=\dfrac{v_0^2\sin\alpha\cos\alpha}{g}.$$

Vì hệ số của $x^2$ âm nên tại giá trị $x$ này hàm đạt cực đại, tức là vật đạt độ cao lớn nhất. Thay vào biểu thức của $y$ (đỉnh parabol):

$$y_{\max}=\dfrac{v_0^2\sin^2\alpha}{2g}=\dfrac{9^2\sin^2\alpha}{2\cdot 9,8}=\dfrac{81}{19,6}\sin^2\alpha=\dfrac{405}{98}\sin^2\alpha\approx 4,13\sin^2\alpha\ (\text{m}).$$

Thời điểm vật đạt độ cao đó (ứng với $x=\dfrac{v_0^2\sin\alpha\cos\alpha}{g}$):

$$t=\dfrac{x}{v_0\cos\alpha}=\dfrac{v_0\sin\alpha}{g}=\dfrac{9\sin\alpha}{9,8}=\dfrac{45}{49}\sin\alpha\approx 0,92\sin\alpha\ (\text{s}).$$

Vậy độ cao lớn nhất là $y_{\max}=\dfrac{405}{98}\sin^2\alpha\approx 4,13\sin^2\alpha$ (m), đạt được sau khi ném $t=\dfrac{45}{49}\sin\alpha\approx 0,92\sin\alpha$ (s).

b) Góc ném để tầm ném xa lớn nhất

Tầm ném xa là khoảng cách theo phương ngang từ điểm ném đến điểm vật rơi xuống đất, tức là hoành độ giao điểm (khác $O$) của quỹ đạo với trục $Ox$. Cho $y=0$:

$$x\left(\dfrac{-g}{2v_0^2\cos^2\alpha}\,x+\tan\alpha\right)=0\ \Leftrightarrow\ x=0\ \text{hoặc}\ x=\dfrac{2v_0^2\cos^2\alpha\tan\alpha}{g}.$$

Do đó tầm ném xa là

$$L(\alpha)=\dfrac{2v_0^2\sin\alpha\cos\alpha}{g}=\dfrac{v_0^2}{g}\sin 2\alpha,\qquad \alpha\in\left(0;\dfrac{\pi}{2}\right).$$

Xét hàm số $L(\alpha)=\dfrac{v_0^2}{g}\sin 2\alpha$. Ta có

$$L'(\alpha)=\dfrac{2v_0^2}{g}\cos 2\alpha .$$

Trên khoảng $\left(0;\dfrac{\pi}{2}\right)$: $L'(\alpha)=0\Leftrightarrow\cos 2\alpha=0\Leftrightarrow 2\alpha=\dfrac{\pi}{2}\Leftrightarrow\alpha=\dfrac{\pi}{4}$. Lập bảng biến thiên, $L'(\alpha)>0$ khi $\alpha<\dfrac{\pi}{4}$ và $L'(\alpha)<0$ khi $\alpha>\dfrac{\pi}{4}$, nên $L$ đạt giá trị lớn nhất tại $\alpha=\dfrac{\pi}{4}$ (ứng với $\sin 2\alpha=1$).

Khi đó tầm ném xa lớn nhất là

$$L_{\max}=\dfrac{v_0^2}{g}=\dfrac{81}{9,8}=\dfrac{405}{49}\approx 8,27\ (\text{m}).$$

Vậy để tầm ném xa lớn nhất, góc ném là $\alpha=\dfrac{\pi}{4}=45^\circ$.

Đáp số