Giải Hoạt động trang 36 Chuyên đề Toán 12

Lời giải

a) Chọn kí hiệu cho các đại lượng

Gọi các điểm như trong hình: $A$ là vị trí thuyền, $P$ là điểm trên bờ gần thuyền nhất, $B$ là vị trí nhà trên bờ, $Q$ là điểm trên bờ (giữa $P$ và $B$) mà người đó chèo thuyền tới.

*Các đại lượng đã biết:*

- Khoảng cách từ thuyền tới bờ: $AP = 2$ (km) (đoạn $AP$ vuông góc với bờ biển).
- Khoảng cách từ $P$ tới nhà dọc bờ: $PB = 6$ (km).
- Vận tốc chèo thuyền: $v_1 = 3$ (km/h).
- Vận tốc đi bộ: $v_2 = 5$ (km/h).

*Các đại lượng chưa biết:*

- Đặt $PQ = x$ (km), với điều kiện $0 \le x \le 6$: quãng đường trên bờ tính từ $P$ đến điểm cập bến $Q$.
- $T$ (giờ): tổng thời gian đi từ thuyền về đến nhà.

b) Mối quan hệ giữa các kí hiệu

Vì $AP$ vuông góc với bờ biển nên tam giác $APQ$ vuông tại $P$. Theo định lí Py-ta-go, quãng đường chèo thuyền là:

$$AQ = \sqrt{AP^2 + PQ^2} = \sqrt{2^2 + x^2} = \sqrt{x^2 + 4}\ (\text{km}).$$

Quãng đường đi bộ (từ $Q$ đến nhà $B$ dọc bờ) là:

$$QB = PB - PQ = 6 - x\ (\text{km}).$$

Thời gian = quãng đường / vận tốc, nên tổng thời gian:

$$T = \frac{AQ}{v_1} + \frac{QB}{v_2} = \frac{\sqrt{x^2+4}}{3} + \frac{6-x}{5}\ (\text{giờ}).$$

c) Chèo thuyền đến $P$ rồi đi bộ về nhà

Trường hợp này ứng với $Q \equiv P$, tức $x = 0$.

- Chèo thuyền quãng $AP = 2$ km với vận tốc $3$ km/h: thời gian $\dfrac{2}{3}$ giờ.
- Đi bộ quãng $PB = 6$ km với vận tốc $5$ km/h: thời gian $\dfrac{6}{5}$ giờ.

Tổng thời gian:

$$T = \frac{2}{3} + \frac{6}{5} = \frac{10}{15} + \frac{18}{15} = \frac{28}{15} \approx 1{,}87\ (\text{giờ}).$$

(Tức khoảng $1$ giờ $52$ phút.)

d) Chèo thuyền đến điểm $Q$ rồi đi bộ về nhà

Áp dụng công thức ở câu b) với $PQ = x$ ($0 \le x \le 6$):

- Thời gian chèo thuyền $AQ = \sqrt{x^2+4}$ km với vận tốc $3$ km/h là $\dfrac{\sqrt{x^2+4}}{3}$ giờ.
- Thời gian đi bộ $QB = 6 - x$ km với vận tốc $5$ km/h là $\dfrac{6-x}{5}$ giờ.

Vậy tổng thời gian đi về nhà là hàm số theo $x$:

$$T(x) = \frac{\sqrt{x^2+4}}{3} + \frac{6-x}{5}\quad (0 \le x \le 6).$$

Đáp số