Giải Bài 2.5 trang 34 Chuyên đề Toán 12

Lời giải

Bước 1. Lập mô hình.

Gọi $x$ (gam) là lượng thức ăn $S_1$ và $y$ (gam) là lượng thức ăn $S_2$ cần thêm vào $100$ gam thức ăn cho gà, với $x \ge 0,\ y \ge 0$.

Lượng vitamin thêm vào phải đạt mức tối thiểu ở mỗi loại:

- $V_1$: $5x + 25y \ge 50 \iff x + 5y \ge 10$
- $V_2$: $25x + 10y \ge 100 \iff 5x + 2y \ge 20$
- $V_3$: $10x + 10y \ge 60 \iff x + y \ge 6$
- $V_4$: $35x + 20y \ge 180 \iff 7x + 4y \ge 36$

Chi phí (đồng): $F(x;y) = 720x + 960y$ — cần tìm giá trị nhỏ nhất.

Đây là bài toán quy hoạch tuyến tính với hệ ràng buộc
$$\begin{cases} x + 5y \ge 10 \\ 5x + 2y \ge 20 \\ x + y \ge 6 \\ 7x + 4y \ge 36 \\ x \ge 0,\ y \ge 0. \end{cases}$$

Bước 2. Xác định miền nghiệm (miền ràng buộc).

Miền nghiệm $D$ là phần mặt phẳng thỏa mãn đồng thời tất cả các bất phương trình trên (nằm về phía "trên" của các đường thẳng biên và trong góc phần tư thứ nhất). Đây là miền đa giác không bị chặn phía trên, có các đỉnh nằm trên biên dưới. Tìm tọa độ các đỉnh bằng cách giải giao điểm của các cặp đường thẳng biên kề nhau:

- $A(0;\,10)$: giao của $Oy$ với $5x+2y=20$.
- $B\left(\dfrac{4}{3};\,\dfrac{20}{3}\right)$: giao của $5x+2y=20$ và $7x+4y=36$.
- $C(4;\,2)$: giao của $7x+4y=36$ và $x+y=6$.
- $D_0(5;\,1)$: giao của $x+y=6$ và $x+5y=10$.
- $E(10;\,0)$: giao của $x+5y=10$ với $Ox$.

Bước 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của $F$.

Hàm mục tiêu $F$ tuyến tính nên đạt giá trị nhỏ nhất trên miền $D$ tại một trong các đỉnh. Tính $F$ tại các đỉnh:

| Đỉnh | $(x;y)$ | $F = 720x + 960y$ |
|------|---------|-------------------|
| $A$ | $(0;10)$ | $9\,600$ |
| $B$ | $\left(\tfrac{4}{3};\tfrac{20}{3}\right)$ | $960 + 6\,400 = 7\,360$ |
| $C$ | $(4;2)$ | $2\,880 + 1\,920 = 4\,800$ |
| $D_0$ | $(5;1)$ | $3\,600 + 960 = 4\,560$ |
| $E$ | $(10;0)$ | $7\,200$ |

Giá trị nhỏ nhất là $F = 4\,560$ đồng, đạt được tại $D_0(5;\,1)$, tức $x = 5,\ y = 1$.

Bước 4. Kiểm tra lại đáp số.

Với $x = 5,\ y = 1$:

- $V_1$: $5\cdot 5 + 25\cdot 1 = 50 \ge 50$ ✓ (vừa đủ)
- $V_2$: $25\cdot 5 + 10\cdot 1 = 135 \ge 100$ ✓
- $V_3$: $10\cdot 5 + 10\cdot 1 = 60 \ge 60$ ✓ (vừa đủ)
- $V_4$: $35\cdot 5 + 20\cdot 1 = 195 \ge 180$ ✓

Mọi ràng buộc đều thỏa mãn và chi phí $F = 720\cdot 5 + 960\cdot 1 = 4\,560$ đồng.

Kết luận: Cần thêm vào $100$ gam thức ăn cho gà $5$ gam loại $S_1$ và $1$ gam loại $S_2$ thì chi phí thấp nhất là $4\,560$ đồng mà vẫn đảm bảo dinh dưỡng cho gà.

Đáp số