Giải Bài 2.4 trang 34 Chuyên đề Toán 12

Lời giải

Bước 1. Lập mô hình bài toán.

Gọi $x$ là số đơn vị thức ăn $F_1$ và $y$ là số đơn vị thức ăn $F_2$ dùng trong mỗi ngày, với $x\ge 0,\ y\ge 0$.

Các yêu cầu về dinh dưỡng:

- Vitamin (mỗi đơn vị $F_1$ chứa 2, $F_2$ chứa 1; cần tối thiểu 400): $2x+y\ge 400$.
- Khoáng chất (mỗi đơn vị $F_1$ chứa 1, $F_2$ chứa 2; cần tối thiểu 500): $x+2y\ge 500$.
- Calo (mỗi đơn vị đều chứa 4; cần tối thiểu 1400): $4x+4y\ge 1400$, tức là $x+y\ge 350$.

Ta được hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn:
$$\begin{cases} 2x+y\ge 400 \\ x+2y\ge 500 \\ x+y\ge 350 \\ x\ge 0,\ y\ge 0. \end{cases}$$

Chi phí cần làm nhỏ nhất là
$$F(x;y)=1200x+720y \ (\text{đồng}).$$

Bước 2. Xác định miền nghiệm (miền $S$).

Miền nghiệm của hệ là phần mặt phẳng (không bị chặn) nằm về phía trên các đường thẳng ranh giới. Ta tìm các đỉnh của miền bằng cách giải giao điểm của các đường thẳng:

- Giao của $2x+y=400$ và $x+y=350$: trừ hai phương trình được $x=50$, suy ra $y=300$, đỉnh $A(50;300)$.
- Giao của $x+y=350$ và $x+2y=500$: trừ được $y=150$, suy ra $x=200$, đỉnh $B(200;150)$.
- Giao của $2x+y=400$ với trục tung ($x=0$): $y=400$, đỉnh $C(0;400)$ (điểm này thỏa $x+2y=800\ge500$ và $x+y=400\ge350$).
- Giao của $x+2y=500$ với trục hoành ($y=0$): $x=500$, đỉnh $D(500;0)$ (thỏa $2x+y=1000\ge400$ và $x+y=500\ge350$).

(Giao của $2x+y=400$ và $x+2y=500$ là $(100;200)$ nhưng $x+y=300<350$ nên không thuộc miền nghiệm, ta loại.)

Vậy miền nghiệm là miền đa giác (không bị chặn) có các đỉnh $C(0;400),\ A(50;300),\ B(200;150),\ D(500;0)$.

Bước 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của $F$.

Vì $F=1200x+720y$ với các hệ số dương và miền chỉ bị chặn phía dưới nên $F$ đạt giá trị nhỏ nhất tại một trong các đỉnh. Tính $F$ tại các đỉnh:

| Đỉnh | $F=1200x+720y$ |
|---|---|
| $C(0;400)$ | $720\cdot400=288\,000$ |
| $A(50;300)$ | $1200\cdot50+720\cdot300=60\,000+216\,000=276\,000$ |
| $B(200;150)$ | $1200\cdot200+720\cdot150=240\,000+108\,000=348\,000$ |
| $D(500;0)$ | $1200\cdot500=600\,000$ |

Giá trị nhỏ nhất là $F=276\,000$ đồng, đạt tại $A(50;300)$.

Bước 4. Kiểm tra lại đáp số tại $x=50,\ y=300$.

- Vitamin: $2\cdot50+300=400\ge400$ (vừa đủ) ✓
- Khoáng chất: $50+2\cdot300=650\ge500$ ✓
- Calo: $4\cdot50+4\cdot300=1400\ge1400$ (vừa đủ) ✓

Các yêu cầu dinh dưỡng đều được đảm bảo.

Kết luận. Mỗi ngày nên dùng 50 đơn vị thức ăn $F_1$ và 300 đơn vị thức ăn $F_2$; khi đó chi phí ít nhất là $276\,000$ đồng.

Đáp số